Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
4x−a+4x−aa−3=1 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть 4x−a=t, тогда уравнение примет вид t+ta−3=1.(1) С учётом присутствия корня в знаменателе дроби получим, что t>0. Проанализируем замену:
4x−a=t;t2=4x−a;4x=t2+a. При t2+a>0 каждому значению t соответствует одно значение x, при t2+a⩽0 решений нет. Тогда должно выполняться условие t2+a>0. Домножим уравнение (1) на t=0: t2+a−3=t; a=−t2+t+3. Решим задачу графически в осях Ota. Уравнение a=−t2+t+3 при условии a>−t2 задаёт дугу параболы с вершиной tB=−2−1=21,aB=−41+21+3=413, расположенную выше параболы a=−t2. Для её построения возьмём ещё несколько дополнительных точек:
Найдём точки пересечения a=−t2 и a=−t2+t+3: −t2=−t2+t+3; t+3=0; {t=−3,a=−9. Полученная точка не принадлежит рассматриваемой нами области t>0. Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству корней исходного уравнения.
Отметим на графике несколько положений прямой и подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Нам нужно два решения, что соответствует всем положениям от I до II, не включая границы.
Положение I. Прямая проходит через точку (0;3), то есть a=3. Положение II. Прямая проходит через вершину параболы, то есть a=413. Значит, a∈(3;413).
