Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
⎩⎨⎧x≤2a+6,6x≥x2+a2,x+a>0 имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;2].
Решение
Преобразуем неравенства системы:
x⩽2a+6⇒a⩾2x−3.(1)6x⩾x2+a2⇒a2⩽6x−x2=9−(x−3)2⇒(x−3)2+a2⩽9;(2)x+a>0⇒a>−x.(3) (1) задаёт полуплоскость выше прямой a=2x−3, включая границу;
(2) задаёт внутреннюю часть окружности с центром в точке (3;0) и радиусом 3, включая границу;
(3) задаёт полуплоскость выше прямой a=−x, не включая границы.
Найдём точку пересечения прямых:
2x−3=−x⇒x=2иa=−2. Так как прямая a=−x убывает, а прямая a=2x−3 возрастает, поэтому при x∈[1;2) график прямой a=2x−3 находится выше графика прямой a=−x.
Найдём пересечение окружности и прямой x=2: a2=6⋅2−22⇒a2=8⇒a=±22. Таким образом, система неравенств имеет хотя бы одно решение при a∈(−2;22].
