а) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и преобразуем уравнение:
2sin3x−2(1−sin2x)−2sinx=0;2sin3x−2+2sin2x−2sinx=0;2sin3x+2sin2x−2sinx−2=0. Сгруппируем слагаемые:
(2sin3x−2sinx)+(2sin2x−2)=0;2sinx(sin2x−1)+2(sin2x−1)=0. Вынесем общий множитель (sin2x−1): (sin2x−1)(2sinx+2)=0. Заметим, что sin2x−1=−cos2x. Тогда:
−cos2x(2sinx+2)=0;cos2x(2sinx+2)=0. Получаем:
[cos2x=0,2sinx+2=0.⇔cosx=0,sinx=−22.⇔x=2π+πk,x=−4π+2πk,x=−43π+2πk,k∈Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−4π;−25π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни:
−27π,−411π,−25π. Ответ: а) 2π+πk,−4π+2πk,−43π+2πk,k∈Z; б) −27π,−411π,−25π.
