Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(x2+y2+6x)⋅x+y+6=0,y=ax−3a имеет ровно два различных решения.
Решение
Первое уравнение системы равносильно совокупности
{(x+3)2+y2=9,y≥−x−6,y=−x−6. Система (1) в координатах Oxy задаёт дугу окружности с центром O(−3;0) радиуса 3, расположенную не ниже прямой y=−x−6. Уравнение (2) задаёт прямую с угловым коэффициентом −1. Второе уравнение исходной системы задаёт пучок прямых, проходящих через точку (3;0). Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=a(x−3). Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Найдём точки пересечения графиков y=−x−6 и (x+3)2+y2=9: (x+3)2+(−x−6)2=9,(x+3)2+(x+6)2=9; x2+6x+9+x2+12x+36−9=0,2x2+18x+36=0,x2+9x+18=0; {x=−3,y=−3;{x=−6,y=0. Положения I, IV: прямая y=ax−3a касается окружности (x+3)2+y2=9. Это происходит, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Расстояние от точки M(x0;y0) до прямой l:Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
ρ(M;l)=A2+B2∣Ax0+By0+C∣. Центр окружности O имеет координаты (−3;0), а прямая l имеет вид: −ax+y+3a=0, тогда подставляем в формулу:
1+a2∣3a+0+3a∣=3,∣6a∣=31+a2,∣2a∣=1+a2,4a2=1+a2; 3a2=1,a=±31=±33. Положению IV соответствует a=−33, а положению I соответствует a=33. Положение II: прямая y=a(x−3) проходит через точку (−3;−3): −3=a⋅(−6),a=21. Положение III: прямая y=a(x−3) проходит через точку (−6;0): 0=a⋅(−9),a=0. Нам нужно два решения, что соответствует положениям I, IV, и всем положениям между II и III, включая границы.
