На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее
арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее
арифметическое шести наибольших равно 21.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 5? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 16? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Решение
Упорядочим числа по возрастанию:
a1<a2<a3<…<a10,гдеai∈N. Тогда из условия
6a1+a2+…+a6=7⇔a1+a2+…+a6=42.
6a5+a6+…+a10=21⇔a5+a6+…+a10=126.
а) Предположим, что a1=5, тогда
a1+a2+a3+a4+a5+a6≥5+6+7+8+9+10=45>42. Противоречие, следовательно a1 не может быть равно 5.
б) Предположим, что среднее арифметическое десяти чисел равно 16, тогда их сумма равна 160: a1+a2+…+a10=160. a1+a2+a3+a4+126=160; a1+a2+a3+a4=34. Тогда
42−(a5+a6)=34; a5+a6=8. Следовательно, a5≤3,a4≤2,a3≤1,a2≤0. Противоречие.
в) Заметим, что
a1+a2+…+a10=42+126−(a5+a6)=168−(a5+a6). Таким образом, чтобы найти наибольшее значение среднего арифметического десяти чисел, необходимо найти наибольшее значение их суммы, следовательно, a5+a6 должно принимать наименьшее значение. \\
Заметим, что a5+a6>342=14, так как a5+a6>a3+a4>a1+a2 и a1+a2+a3+a4+a5+a6=42.
--- Пусть a5+a6=15, тогда a5≤7, следовательно, a1+a2+a3+a4≤3+4+5+6=18. Этот вариант не подходит.
--- Пусть a5+a6=16, тогда a5≤7, следовательно, a1+a2+a3+a4≤3+4+5+6=18. Этот вариант также не подходит.
--- Пусть a5+a6=17, тогда a5≤8, следовательно, a1+a2+a3+a4≤4+5+6+7=22. Этот вариант также не подходит.
--- Пусть a5+a6=18, аналогично предыдущему варианту -- не подходит.
--- Пусть a5+a6=19, тогда a5≤9, следовательно, a1+a2+a3+a4≤5+6+7+8=26. Таким образом, нам подходит набор из первых шести чисел: 2,6,7,8,9,10. И среднее арифметическое равно 10168−19=14,9.
Полный набор из десяти чисел будет выглядеть следующим образом:
2,6,7,8,9,10,11,12,13,71.
