В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Ответ:
Решение
1) Так как AA1⊥BC и CC1⊥AB, имеем ∠AA1C=∠AC1C=90∘. Следовательно, точки A,C,A1,C1 лежат на одной окружности.
2) В треугольнике A1BC1 угол при B равен углу ABC: его стороны лежат на тех же прямых BC и BA (на чертеже лучи направлены по продолжениям этих прямых).
3) Так как B,A1,C коллинеарны, ∠BA1C1=∠CA1C1. В окружности A,C,A1,C1 углы ∠CA1C1 и ∠CAC1 опираются на хорду CC1, поэтому равны. Но C1∈AB, значит ∠CAC1=∠CAB.
4) Итак, ∠A1BC1=∠ABC и ∠BA1C1=∠BAC. Следовательно, △A1BC1∼△ABC по двум углам.
