Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.
Идея. Каждая биссектриса вместе с параллельными сторонами параллелограмма даёт равнобедренный треугольник.
1) Так как BC∥AD, то ∠AKB=∠KAD. Так как AK — биссектриса ∠DAB, имеем ∠BAK=∠KAD. Поэтому ∠BAK=∠AKB, и BK=AB.
2) Так как BC∥AD, то ∠CKD=∠KDA. Так как DK — биссектриса ∠CDA, имеем ∠KDA=∠CDK. Поэтому △CDK равнобедренный: CK=CD.
3) В параллелограмме AB=CD. Следовательно, BK=CK, то есть K — середина BC.
