Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

а

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}y = |x - a| - 4 \\4|y| + x^2 + 8x = 0\end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Преобразуем второе уравнение системы:

4|y| = -x^2 - 8x \quad \Rightarrow \quad |y| = -\frac{x^2}{4} - 2x.

Поскольку левая часть неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

-\frac{x^2}{4} - 2x \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x^2+8x \leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x(x+8) \leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-8; 0].

Таким образом, функция

|y| = -\dfrac{x^2}{4} - 2x

определена на отрезке

[-8; 0]

и график этой функции состоит из двух парабол:

y = -\dfrac{x^2}{4} - 2x \quad \text{(верхняя парабола)} \qquad \text{и} \qquad y = \dfrac{x^2}{4} + 2x \quad \text{(нижняя парабола)}.

Уравнение

y = |x-a| - 4

задаёт множество «галочек» с вершиной в точке

(a; -4)

и ветвями, направленными вверх:

1) при

x \geqslant a

y = x - a - 4

(правая ветвь);
2) при

x < a

y = - x + a - 4

(левая ветвь).

Изобразим в осях

Oxy

обе параболы и «галочки» в основных положениях:

Найдём значения параметра, соответствующие касанию ветвей «галочки» с нижней параболой и совпадению вершины «галочки» с вершиной нижней параболы.
(I) Найдём значение

a

, при котором левая ветвь «галочки» касается нижней параболы. Получаем:

\begin{cases} \dfrac{x^2}{4} + 2x = - x - 4 + a,\\[2mm] \left(\dfrac{x^2}{4} + 2x\right)' = (- x - 4 + a)'. \end{cases} \Leftrightarrow\; \begin{cases} a = \dfrac{x^2}{4} + 3x + 4,\\[2mm] \dfrac{x}{2} + 2 = -1. \end{cases}

Тогда получаем

x = -6

a = \dfrac{(-6)^2}{4} + 3\cdot (-6) + 4 = -5.

(II) Абсцисса вершины нижней параболы равна

x_{\text{в}} = -\dfrac{2}{2\cdot\dfrac{1}{4}} = -4.

Таким образом, вершина «галочки» совпадает с вершиной параболы при

a = -4

.

(III) Найдём значение

a

, при котором правая ветвь «галочки» касается нижней параболы. Получаем:

\begin{cases} \dfrac{x^2}{4} + 2x = x - a - 4,\\[2mm] \left(\dfrac{x^2}{4} + 2x\right)' = (x - a - 4)'. \end{cases} \Leftrightarrow\; \begin{cases} a = -\dfrac{x^2}{4} - x - 4,\\[2mm] \dfrac{x}{2} + 2 = 1. \end{cases}

Тогда получаем

x = -2

a = -\dfrac{(-2)^2}{4} - (-2) - 4 = -3.

Значит,

1) при

a\in (-\infty; -5)\cup (-3;+\infty)

система имеет не более двух решений;
2) при

a \in \{-5,-4, -3\}

система имеет

3

решения;
3) при

a\in (-5; -4)\cup (-4; -3)

система имеет

4

решения.

Ответ:

(-5; -4)\cup (-4; -3)

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи