Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
{y=∣x−a∣−44∣y∣+x2+8x=0 имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Преобразуем второе уравнение системы:
4∣y∣=−x2−8x⇒∣y∣=−4x2−2x. Поскольку левая часть неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:
−4x2−2x⩾0⇒x2+8x⩽0⇒x(x+8)⩽0⇒x∈[−8;0]. Таким образом, функция ∣y∣=−4x2−2x определена на отрезке [−8;0] и график этой функции состоит из двух парабол:
y=−4x2−2x(верхняяпарабола)иy=4x2+2x(нижняяпарабола). Уравнение y=∣x−a∣−4 задаёт множество «галочек» с вершиной в точке (a;−4) и ветвями, направленными вверх:
1) при x⩾a:y=x−a−4 (правая ветвь);
2) при x<a:y=−x+a−4 (левая ветвь).
Изобразим в осях Oxy обе параболы и «галочки» в основных положениях:
Найдём значения параметра, соответствующие касанию ветвей «галочки» с нижней параболой и совпадению вершины «галочки» с вершиной нижней параболы.
(I) Найдём значение a, при котором левая ветвь «галочки» касается нижней параболы. Получаем:
⎩⎨⎧4x2+2x=−x−4+a,(4x2+2x)′=(−x−4+a)′.⇔⎩⎨⎧a=4x2+3x+4,2x+2=−1. Тогда получаем x=−6 и
a=4(−6)2+3⋅(−6)+4=−5. (II) Абсцисса вершины нижней параболы равна
xв=−2⋅412=−4. Таким образом, вершина «галочки» совпадает с вершиной параболы при a=−4.
(III) Найдём значение a, при котором правая ветвь «галочки» касается нижней параболы. Получаем:
⎩⎨⎧4x2+2x=x−a−4,(4x2+2x)′=(x−a−4)′.⇔⎩⎨⎧a=−4x2−x−4,2x+2=1. Тогда получаем x=−2 и
a=−4(−2)2−(−2)−4=−3. Значит,
1) при a∈(−∞;−5)∪(−3;+∞) система имеет не более двух решений;
2) при a∈{−5,−4,−3} система имеет 3 решения;
3) при a∈(−5;−4)∪(−4;−3) система имеет 4 решения.
