В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=8.
Ответ:
Решение
Пусть BH — высота, а биссектриса AF пересекает её в точке F. Тогда AF является биссектрисой в прямоугольном треугольнике ABH. По свойству биссектрисы FHBF=AHAB=35. Следовательно, cos∠BAC=ABAH=53. Тогда sin∠BAC=1−(53)2=54. По теореме синусов R=2sin∠BACBC=2⋅548=5.
