Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE:EA=BF:FC=3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник.
а)Докажите, что AC=3. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB=90∘ .
Решение
а) Так как BE:BA=BF:BC=3:4 и ∠B --- общий, то △BEF∼△ABC с коэффициентом подобия k=43, следовательно, EF:AC=3:4. Пусть EF=3t,AC=4t,AE=x,EB=3x,BF=3y,FC=y. Заметим, что четырёхугольник AEFC --- описанный, тогда
AC+EF=AE+FC; 7t=x+y. По условию периметр треугольника P=4x+4y+4t=24; x+y+t=6;7t+t=6;8t=6;t=43;AC=4t=4⋅43=3. Что и требовалось доказать.
б) Пусть BC=a, тогда AB=24−a−3=21−a. Так как ∠ACB=90∘, то по теореме Пифагора:
AB2=AC2+BC2;(21−a)2=a2+32;441−42a+a2=a2+9;42a=432;BC=a=772. Таким образом,
SABC=21⋅AC⋅BC=21⋅3⋅772=7108.
