В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13,8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Ответ:
Решение
Радиус вписанной окружности равен расстоянию от O до прямой AC, то есть r=5. Расстояние от O до прямой AD равно 8. Так как AD∥BC, высота параллелограмма равна h=8+5=13. Пусть окружность касается AC в точке K. В прямоугольном треугольнике AOK AK=AO2−OK2=132−52=12. По равенству касательных из одной точки полупериметр треугольника ABC равен p=BC+AK=BC+12. Площадь треугольника ABC равна одновременно r(BC+AK) и 21BC⋅h. Следовательно, 5(BC+12)=213BC, откуда BC=40. Тогда площадь параллелограмма S=BC⋅h=40⋅13=520.
