Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2021 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

a|x+1|+(1-a)|x-1|+2=0

имеет ровно два различных решения.

Решение

Раскроем модули. Для этого начертим числовую прямую и отметим на ней нули модулей:

x \leqslant -1.

-ax - a + ax - a - x + 1 + 2 = 0; \\[0.5em] x = 3 - 2a.

Найдем

a

, при которых

x = -2a + 3

удовлетворяет условию

x \leqslant -1

-2a + 3 \leqslant -1; \\[0.5em] 2a \geqslant 4; \\[0.5em]a \geqslant 2.

-1 < x < 1.

ax + a + ax - a - x + 1 + 2 = 0; \\[0.5em] x(2a - 1) = -3.

При

a \neq \dfrac{1}{2} \quad x = \dfrac{3}{1-2a}.

При

a = \dfrac{1}{2}

получаем

0 = -3 \Rightarrow

решений нет.
Найдем

a

, при которых

x = \dfrac{3}{1-2a}

удовлетворяет условию

-1 < x < 1

\begin{cases}\dfrac{3}{1-2a} > -1, \\\\\dfrac{3}{1-2a} < 1;\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}\dfrac{3 + 1 - 2a}{1-2a} > 0, \\\\\dfrac{3 - 1 + 2a}{1-2a} < 0;\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}\dfrac{a - 2}{a - \dfrac{1}{2}} > 0,\\\\\dfrac{a + 1}{a - \dfrac{1}{2}} > 0.\end{cases}

a \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty).

x \geqslant 1.

ax + a + x - 1 - ax + a + 2 = 0; \\[0.5em] x = -2a - 1.

Найдем

a

, при которых

x = -2a - 1

удовлетворяет условию

x \geqslant 1

-2a - 1 \geqslant 1; \\[0.5em] -2a \geqslant 2; \\[0.5em]a \leqslant -1.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком

-

число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно два решения:

a \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty).

Ответ:

a \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty).

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи