Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a∣x+1∣+(1−a)∣x−1∣+2=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Раскроем модули. Для этого начертим числовую прямую и отметим на ней нули модулей:
1) x⩽−1. −ax−a+ax−a−x+1+2=0;x=3−2a. Найдем a, при которых x=−2a+3 удовлетворяет условию x⩽−1: −2a+3⩽−1;2a⩾4;a⩾2.
2) −1<x<1. ax+a+ax−a−x+1+2=0;x(2a−1)=−3. При a=21x=1−2a3. При a=21 получаем 0=−3⇒ решений нет.
Найдем a, при которых x=1−2a3 удовлетворяет условию −1<x<1: ⎩⎨⎧1−2a3>−1,1−2a3<1;⎩⎨⎧1−2a3+1−2a>0,1−2a3−1+2a<0;⎩⎨⎧a−21a−2>0,a−21a+1>0.
Найдем a, при которых x=−2a−1 удовлетворяет условию x⩾1: −2a−1⩾1;−2a⩾2;a⩽−1.
Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком − число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно два решения:
a∈(−∞;−1)∪(2;+∞).
