Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x2+6x+8=a−3x имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.
Решение
Уравнение f(x)=g(x) равносильно любой из систем
{f(x)=g(x),f(x)⩾0и{f(x)=g(x),g(x)⩾0. Выберем ограничение на выражение под левым корнем, так как оно не содержит a. Получим
{x2+6x+8=a−3x,x2+6x+8⩾0;(1)(2)(2)x2+6x+8⩾0;(x+2)(x+4)⩾0;
x∈(−∞;−4]∪[−2;+∞). Рассмотрим уравнение (1):
x2+9x+8−a=0;D=81−4(8−a)=49+4a. При 49+4a⩾0,a⩾−12,25. x1,2=2−9±49+4a=−4,5±a+12,25. Если D=0, то уравнение (1) имеет один корень x=−4,5, он отрицателен и удовлетворяет условию (2), значит, 49+4a=0,a=−12,25 --- подходит под условие задачи.
Если D>0 (a>−12,25), то уравнение (1) имеет два корня x1=−4,5−a+12,25, \ x2=−4,5+a+12,25.
Корень x1 отрицателен и меньше −4,5, следовательно, точно удовлетворяет условию (2).
Для выполнения условий задачи возможны два случая:
1) x2⩾0. Тогда исходное уравнение имеет два корня, ровно один из которых отрицателен
−4,5+a+12,25⩾0;a+12,25⩾29;a+12,25⩾481;a⩾8. 2) x2∈(−4;−2). Тогда исходное уравнение имеет только один корень x1 (отрицательный), а x2 не удовлетворяет условию (2):
−4<x2<−2;−4<−4,5+a+12,25<−2;0,5<a+12,25<2,5;0,25<a+12,25<6,25;−12<a<−6;a∈(−12;−6).
Объединив все найденные решения, получим a∈{−12,25}∪(−12;−6)∪[8;+∞).
