Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2023 (резерв)

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^2 + 6x + 8} = \sqrt{a - 3x}

имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.

Решение

Уравнение

\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}

равносильно любой из систем

\begin{cases}f(x) = g(x), \\f(x) \geqslant 0\end{cases}\quad \text{и} \quad\begin{cases}f(x) = g(x), \\g(x) \geqslant 0.\end{cases}

Выберем ограничение на выражение под левым корнем, так как оно не содержит

a.

Получим

\begin{cases} x^2 + 6x + 8 = a - 3x, & (1) \\ x^2 + 6x + 8 \geqslant 0; & (2) \end{cases} \\[0.5em](2) \ x^2 + 6x + 8 \geqslant 0; \\[0.5em]\quad (x+2)(x+4) \geqslant 0;

x \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty).

Рассмотрим уравнение (1):

\quad x^2 + 9x + 8 - a = 0;\\[0.5em]D = 81 - 4(8-a) = 49 + 4a.

При

49+4a \geqslant 0

a \geqslant -12,25

x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49+4a}}{2} = -4,5 \pm \sqrt{a+12,25}.

Если

D=0

, то уравнение (1) имеет один корень

x = -4,5

, он отрицателен и удовлетворяет условию (2), значит,

49+4a=0

a = -12,25

--- подходит под условие задачи.

Если

D>0

(

a > -12,25

), то уравнение (1) имеет два корня

x_1 = -4,5 - \sqrt{a+12,25}

, \

x_2 = -4,5 + \sqrt{a+12,25}

.

Корень

x_1

отрицателен и меньше

-4{,}5

, следовательно, точно удовлетворяет условию (2).

Для выполнения условий задачи возможны два случая:
1)

x_2 \geqslant 0

. Тогда исходное уравнение имеет два корня, ровно один из которых отрицателен

-4{,}5 + \sqrt{a+12{,}25} \geqslant 0; \quad \sqrt{a+12{,}25} \geqslant \frac{9}{2}; \quad a+12{,}25 \geqslant \frac{81}{4}; \quad a \geqslant 8.

\ x_2 \in (-4; -2).

Тогда исходное уравнение имеет только один корень

x_1

(отрицательный), а

x_2

не удовлетворяет условию (2):

-4 < x_2 < -2; \\[0.5em] -4 < -4{,}5 + \sqrt{a+12{,}25} < -2;\\[0.5em]0{,}5 < \sqrt{a+12{,}25} < 2{,}5;\\[0.5em]0{,}25 < a + 12{,}25 < 6{,}25;\\[0.5em]-12 < a < -6 ; \\[0.5em]a \in (-12; -6).

Объединив все найденные решения, получим

a \in \{-12{,}25\} \cup (-12; -6) \cup [8; +\infty).

Ответ:

a \in \{-12{,}25\} \cup (-12; -6) \cup [8; +\infty).

Похожие задачи