Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\frac{4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}} = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{13\pi}{2}; -5\pi \right]

Решение

а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён. В нашем случае знаменатель определён при

\sin x > 0

.

Найдём нули числителя:

4^{\sin 2x} - 2^{2\sqrt{3}\sin x} = 0;

4^{\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x};

2^{2\sin 2x} = 2^{2\sqrt{3}\sin x};

2\sin 2x = 2\sqrt{3}\sin x;

\sin 2x = \sqrt{3}\sin x.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\sin x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ 2\cos x - \sqrt{3} = 0. \end{array} \right.

Заметим, что случай

\sin x = 0

не удовлетворяет условию

\sin x > 0

.

Решим второе уравнение совокупности:

\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2};

x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

Учтём ограничение

\sin x > 0

:

1) При

x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k

\sin x = \dfrac{1}{2} > 0

— подходит
2) При

x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k

\sin x = -\dfrac{1}{2} < 0

— не подходит

Таким образом, получаем следующие корни уравнения:

x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{13\pi}{2}; -5\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали корень:

-\frac{35\pi}{6}

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{35\pi}{6}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи