Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

ЕГЭ 2024 (резерв)

Решите неравенство

\dfrac{\log _5(5 x-27)}{\log _5(x-5)} \geqslant 1.

Решение

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию

\dfrac{\log_a b}{\log_a c} = \log_c b

, тогда неравенство примет вид:

\log _{x-5}(5 x-27)\geqslant 1;\\\log _{x-5}(5 x-27)\geqslant \log _{x-5}(x-5);\\\log _{x-5}(5 x-27) - \log _{x-5}(x-5)\geqslant0.

Воспользуемся методом рационализации. Основание логарифма содержит переменную, поэтому множитель

((x-5)-1)

запишем в знаменатель, чтобы сразу исключить случай равенства основания единице. Тогда неравенство равносильно следующей системе:

\begin{cases} \dfrac{5x-27-(x-5)}{x-5-1}\geqslant 0, \\[4pt] 5 x-27 > 0, \\[4pt] x-5 > 0. \end{cases}

Выполним преобразования в каждом неравенстве системы:

\begin{cases} \dfrac{5x-27-x + 5}{x-6}\geqslant 0, \\[4pt] 5 x > 27, \\[4pt] x > 5; \end{cases} \quad \begin{cases} \dfrac{4x-22}{x-6}\geqslant 0, \\[8pt] x > 5,4, \\[4pt] x > 5. \end{cases}

С помощью метода интервалов решим каждое неравенство системы:

$Изображение 1$

$Изображение 2$

$Изображение 3$

Пересекая полученные промежутки, получаем, что:

x\in(5,4;5,5] \cup (6; +\infty).

Ответ:

(5,4;5,5] \cup (6; +\infty)

Похожие задачи