Постройте график функции y=−x−2x3+−x−22x2+−x−2x+−x−22. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:
Решение
Функция определена при x=−2.
Преобразуем выражение, сокращая общий множитель: y=−x2−1,x=−2. Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.
Найдём координаты выколотой точки: (−2;−5).
Вершина параболы y=−x2−1:(0;−1).
Таблица значений для y=−x2−1 (с учетом выколотых точек):
x:−3,−2,−1,0,1,2,3 y:−10,−5,−2,−1,−2,−5,−10
График функции:
Прямая y=kx проходит через начало координат. Исследуем количество общих точек этой прямой с графиком функции.
Подберём k таким образом, чтобы график y=kx проходил через выколотую точку (−2;−5). −5=k⋅−2; k=2,5. Кроме этого, прямая y=kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения k. −x2−1=kx; −kx−x2−1=0. Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю: D=k2−4=0; k=−2илиk=2. Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы. Следовательно, k∈{−2}∪{2}∪{2,5}.
