Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
21bfb31d
Найдите наибольшее значение функции
y
=
7
+
12
x
−
4
x
x
y=7+12 x-4 x \sqrt{x}
y
=
7
+
12
x
−
4
x
x
на отрезке
[
0
;
12
]
[0; 12]
[
0
;
12
]
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
⩾
0
x \geqslant 0
x
⩾
0
.
Отрезок
[
0
;
12
]
[0; 12]
[
0
;
12
]
входит в область определения.
Найдём производную:
y
′
=
12
−
4
⋅
3
2
x
1
2
=
12
−
6
x
.
y' = 12 - 4 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = 12 - 6\sqrt{x}.
y
′
=
12
−
4
⋅
2
3
x
2
1
=
12
−
6
x
.
Найдём нули производной:
12
−
6
x
=
0
;
12 - 6\sqrt{x} = 0;
12
−
6
x
=
0
;
x
=
2
;
\sqrt{x} = 2;
x
=
2
;
x
=
4.
x = 4.
x
=
4.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания:
y
′
(
1
)
=
15
>
0
y'(1) = 15 > 0
y
′
(
1
)
=
15
>
0
,
поэтому производная меняет знак с «+» на «–» в точке
x
=
4
x = 4
x
=
4
.
Значит, это точка максимума.
Таким образом, функция
y
y
y
достигает наибольшего значения на отрезке
[
0
;
12
]
[0;12]
[
0
;
12
]
в точке
4
4
4
:
y
(
4
)
=
7
+
12
⋅
4
−
4
⋅
4
4
=
23.
y(4) = 7 + 12\cdot 4 - 4\cdot 4\sqrt{4} = 23.
y
(
4
)
=
7
+
12
⋅
4
−
4
⋅
4
4
=
23.
Ответ:
23
23
23
.
