Постройте график функции y=x2+11x−4∣x+6∣+30. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+6=0⇒x=−6.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−6. Получаем y=x2+15x+54.
Случай 2: x⩾−6. Получаем y=x2+7x+6.
Таким образом: y={x2+15x+54,x2+7x+6,x<−6,x⩾−6. Вершина левой ветви: (−7,5;−2,25), вершина правой ветви: (−3,5;−6,25). Таблица значений для левой ветви:
x:−8,−7,−6 y:−2,−2,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−6,−5,−4,−3 y:0,−4,−6,−6
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{−2,25}∪{0}.
