Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры100 параметров 2026Ларин
Найдите все значения параметра aaa, при каждом из которых система {x2+(2−5a)x+4a2−2a≤0,x2+a2=4\begin{cases}
x^2+(2-5a)x+4a^2-2a\le0, \\
x^2+a^2=4
\end{cases}{x2+(2−5a)x+4a2−2a≤0,x2+a2=4​
имеет хотя бы одно решение.

Решение

(1) x2+(2−5a)x+4a2−2a≤0.x^2 + (2-5a)x + 4a^2 - 2a \le 0.x2+(2−5a)x+4a2−2a≤0.

Составим и решим уравнение: x2+(2−5a)x+4a2−2a=0x^2 + (2-5a)x + 4a^2 - 2a = 0x2+(2−5a)x+4a2−2a=0;
D=(2−5a)2−4⋅1⋅(4a2−2a)=4−20a+25a2−16a2+8a=9a2−12a+4=(3a−2)2;D = (2-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - 2a)
= 4 - 20a + 25a^2 - 16a^2 + 8a
= 9a^2 - 12a + 4
= (3a-2)^2;D=(2−5a)2−4⋅1⋅(4a2−2a)=4−20a+25a2−16a2+8a=9a2−12a+4=(3a−2)2;
x1=−(2−5a)−(3a−2)2=2a2=a;x_1 = \frac{-(2-5a) - (3a-2)}{2} = \frac{2a}{2} = a;x1​=2−(2−5a)−(3a−2)​=22a​=a;
x2=−(2−5a)+(3a−2)2=8a−42=4a−2.x_2 = \frac{-(2-5a) + (3a-2)}{2} = \frac{8a-4}{2} = 4a-2.x2​=2−(2−5a)+(3a−2)​=28a−4​=4a−2.
Неравенство примет вид: (x−a)(x−(4a−2))≤0.(x-a)(x-(4a-2)) \le 0.(x−a)(x−(4a−2))≤0.

Решим его графически в системе OxaOxaOxa, для этого построим графики границ a=xa = xa=x и x=4a−2x = 4a - 2x=4a−2.

a=xa = xa=x -- прямая x02a02\begin{array}{c|c|c}
x & 0 & 2 \\
\hline
a & 0 & 2
\end{array}xa​00​22​​; x=4a−2x = 4a - 2x=4a−2-- прямая x26a12\begin{array}{c|c|c}
x & 2 & 6 \\
\hline
a & 1 & 2
\end{array}xa​21​62​​
Изображение 0


Прямые разбили координатную плоскость на 4 области.
Определим знак выражения (x−a)(x−(4a−2))(x-a)(x-(4a-2))(x−a)(x−(4a−2)) в каждой из полученных областей.
Возьмём точку (5;−5):(5+5)⋅(5−(4⋅(−5)−2))=10⋅27>0(5;-5): (5+5) \cdot (5-(4 \cdot (-5)-2)) = 10 \cdot 27 > 0(5;−5):(5+5)⋅(5−(4⋅(−5)−2))=10⋅27>0, получили положительное значение, эта точка и область, в которой она лежит не удовлетворяет неравенству.

(6;4):(6−4)(6−(4⋅4−2))=2⋅(−8)<0 — подходит.(6; 4): \quad (6-4)(6-(4 \cdot 4 - 2)) = 2 \cdot (-8) < 0 \text{ --- подходит.}(6;4):(6−4)(6−(4⋅4−2))=2⋅(−8)<0 — подходит.

(0;5):(0−5)(0−(4⋅5−2))=−5⋅(−18)>0 — не подходит.(0; 5): \quad (0-5)(0-(4 \cdot 5 - 2)) = -5 \cdot (-18) > 0 \text{ --- не подходит.}(0;5):(0−5)(0−(4⋅5−2))=−5⋅(−18)>0 — не подходит.

(−5;−4):(−5+4)(−5−(4⋅(−4)−2))=−1⋅13<0 — подходит.(-5; -4): \quad (-5+4)(-5-(4 \cdot (-4) - 2)) = -1 \cdot 13 < 0 \text{ --- подходит.}(−5;−4):(−5+4)(−5−(4⋅(−4)−2))=−1⋅13<0 — подходит.

Выделим области, в которых выполняется неравенство.
Рассмотрим уравнение (2): x2+a2=4x^2 + a^2 = 4x2+a2=4 --- задаёт окружность
с центром (0;0)(0;0)(0;0) и радиусом 222.

Найдём точки пересечения окружности с прямыми:
1) с a=xa = xa=x:
x2+a2=4,x2+x2=4x2=2x=±2, a=±2 A(−2;−2), B(2;2).x^2 + a^2 = 4,\\
x^2 + x^2 = 4\\
x^2 = 2 \\
x = \pm \sqrt{2}, \ a = \pm \sqrt{2}\ \\
A(-\sqrt{2}; -\sqrt{2}), \ B(\sqrt{2}; \sqrt{2}).x2+a2=4,x2+x2=4x2=2x=±2​, a=±2​ A(−2​;−2​), B(2​;2​).
2) с x=4a−2x = 4a - 2x=4a−2:
(4a−2)2+a2=4;(4a - 2)^2 + a^2 = 4;(4a−2)2+a2=4;
16a2−16a+4+a2=4;16a^2 - 16a + 4 + a^2 = 4;16a2−16a+4+a2=4;
17a2−16a=0;17a^2 - 16a = 0;17a2−16a=0;
a(17a−16)=0;a(17a - 16) = 0;a(17a−16)=0;
a=0,a=1617;a = 0, \quad a = \frac{16}{17};a=0,a=1716​;
x=−2,x=3017;x = -2, \quad x = \frac{30}{17};x=−2,x=1730​;
C(−2;0),D(3017;1617).C(-2; 0), \quad D\left(\frac{30}{17}; \frac{16}{17}\right).C(−2;0),D(1730​;1716​).

В область решений неравенства (1)
попадает не вся окружность, а только две её дуги
AC⌣\overset{\smile}{AC}AC⌣ и BD⌣\overset{\smile}{BD}BD⌣.

Запустим горизонтальную считывающую прямую
и найдём, при каких значениях aaa она имеет
хотя бы одну общую точку с дугами AC⌣\overset{\smile}{AC}AC⌣ и BD⌣\overset{\smile}{BD}BD⌣,
при этих же значениях параметра будет иметь
решения и система.

Координаты точек A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D нам уже известны, поэтому
запишем ответ:
a∈[−2;0]∪[1617;2]a \in [-\sqrt{2}; 0] \cup \left[\dfrac{16}{17}; \sqrt{2}\right]a∈[−2​;0]∪[1716​;2​].

Ответ: a∈[−2;0]∪[1617;2]a \in [-\sqrt{2}; 0] \cup \left[\dfrac{16}{17}; \sqrt{2}\right]a∈[−2​;0]∪[1716​;2​].