Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {log11(a−y2)=log11(a−x2),x2+y2=2x+6y имеет ровно два различных решения.
Решение
Заметим, что при a<0 верно, что a−x2<0, следовательно, первое уравнение
системы не имеет решений. Таким образом, далее будем рассматривать случай a⩾0. С помощью монотонности логарифма перейдём к равносильной системе:
⎩⎨⎧a−y2=a−x2,a−x2>0,x2+y2=2x+6y.⇒⎩⎨⎧x2=y2,x2<a,x2+y2=2x+6y. Преобразуем последнее уравнение системы, выделяя полные квадраты:
x2+y2=2x+6y⇒x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10.(∗) Проанализируем каждое выражение системы:
1)
x2=y2⇒(x−y)(x+y)=0. Уравнения x=y и y=−x задают прямые, проходящие через точку (0;0), с угловыми коэффициентами 1 и −1. 2)
x2<a⇒−a<x<a.(∗∗) Данное неравенство задаёт область между прямыми x=−a и x=a, не включая границу.
3) Уравнение (x−1)2+(y−3)2=10 задаёт окружность с центром в точке (1;3) и радиусом 10.
Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:
⎩⎨⎧y=−x,(x−1)2+(y−3)2=10,−a<x<a;(1)⎩⎨⎧y=x,(x−1)2+(y−3)2=10,−a<x<a.(2) Окружность проходит через точку (0;0), так как
(0−1)2+(0−3)2=1+9=10, значит, прямые всегда пересекают окружность в точке (0;0).
Найдём точку пересечения окружности прямой y=−x и (∗): (x−1)2+(−x−3)2=10⇒x2−2x+1+x2+6x+9=10⇒x(x+2)=0. Следовательно, пересечение происходит в точках (0;0) и (−2;2).
Значит, (1) имеет два решения, когда точка (−2;2) попадает в полосу (∗∗), то есть при a>2.
Найдём точку пересечения окружности прямой y=x и (∗): (x−1)2+(x−3)2=10⇒x2−2x+1+x2−6x+9=10⇒x(x−4)=0. Следовательно, пересечение происходит в точках (0;0) и (4;4).
Значит, (2) имеет два решения, когда точка (4;4) попадает в полосу (∗∗), то есть при a>16.
Итого, получаем:
1) при a<0 система не имеет решений;
2) при 0⩽a⩽4 система имеет 1 решение;
3) при 4<a⩽16 система имеет 2 решения;
4) при a>16 система имеет 3 решения.
