На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 7, к каждому числу из второй группы —-- цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее
количество чисел могло быть написано на доске?
Решение
Пусть S1 --- сумма чисел в первой группе, S2 — во второй, S3 — в третьей, n1,n2,n3 --- их количества соответственно.
После приписывания цифр:
1) Числа первой группы превращаются в 10a+7, их новая сумма 10S1+7n1. 2) Числа второй группы превращаются в 10b+9, их новая сумма 10S2+9n2. 3) Третья группа не меняется: сумма S3 .
Общая новая сумма: 10S1+7n1+10S2+9n2+S3. Исходная сумма: S1+S2+S3.
а) Пусть увеличение в 2 раза:
10S1+7n1+10S2+9n2+S3=2(S1+S2+S3); Преобразуем
10S1+7n1+10S2+9n2+S3=2S1+2S2+2S3;S3=8S1+8S2+7n1+9n2. Подберём пример. Возьмём n1=n2=n3=1. Пусть в первой группе число 1, во второй 2, в третьей 40. Тогда
S1=1,S2=2,S3=40. Проверяем: 8⋅1+8⋅2+7⋅1+9⋅1=40=S3. Равенство выполнено. Исходная сумма 1+2+40=43, новая сумма 17+29+40=86,4386=2.
б) Пусть увеличение в 19 раз:
10S1+7n1+10S2+9n2+S3=19(S1+S2+S3); Преобразуем
10S1+7n1+10S2+9n2+S3=19S1+19S2+19S3;7n1+9n2=9S1+9S2+18S3. Заметим, что n1≤S1,n2≤S2, так как числа натуральные и различные (минимальная сумма n чисел не меньше n). Тогда левая часть ≤7S1+9S2. Правая часть =9S1+9S2+18S3≥9S1+9S2. Чтобы равенство выполнялось, нужно 7S1+9S2≥9S1+9S2+18S3, что невозможно при положительных S3.
в) По условию увеличение в 11 раз:
10S1+7n1+10S2+9n2+S3=11(S1+S2+S3); Преобразуем
10S1+7n1+10S2+9n2+S3=11S1+11S2+11S3;S1+S2+10S3=7n1+9n2 Заметим, что если n≥15, где n=n1+n2+n3, то
7S1+9S2≤9(n−2)+7=9n−11x1+x2+10x3≥2n(n+1)+9 Тогда докажем, что
2n(n+1)+9>9n−11 Преобразуем
n2+n+18>18n−22;n2−17n+40>0 Данное неравенство всегда выполняется для любых n≥15, противоречие. Значит n≤14.
При n=14:
Пусть в первой группе будет число 15, во второй --- 2,3,4,…13, в третьей --- 1. Тогда
n1=n3=1,n2=12,S1=15,S2=90,S3=1. Проверяем: 15+90+10⋅1=115,7⋅1+9⋅12=115. Равенство выполнено. Исходная сумма 15+90+1=106, новая сумма 157+1008+1=1166,111166=106.
