Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселЕГКР 25.03.2025

Четверо одноклассников играют в числа. Первый записал несколько необязательно различных двузначных чисел. Второй нашёл их сумму, и у него получилось 231. Третий поменял местами единицы и десятки в каждом числе, записанном первым. Четвёртый нашёл сумму чисел, получившихся у третьего.

а) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 4 раза больше суммы, которую получил второй?

б) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 3 раза больше суммы, которую получил второй?

в) Какую наибольшую сумму может получить четвёртый?

Решение

а) Пусть первый одноклассник записал

n

двузначных чисел без 0 в десятичной записи. Тогда после перестановки цифр в них третьим одноклассником они приняли вид:

10a_1+b_1 \quad \longrightarrow \quad {10b_1+a_1};

10a_2+b_2 \quad \longrightarrow \quad {10b_2+a_2};

10a_3+b_3 \quad \longrightarrow \quad {10b_3+a_3};

\dots \quad \dots \quad \dots

10a_n+b_n \quad \longrightarrow \quad {10b_n+a_n}.

Тогда после суммирования чисел в каждой из групп получаем следующие суммы, соответствующие тем, которые получат второй и четвёртый одноклассники:

10\underbrace{(a_1+a_2+ \dots + a_n)}_{A}+\underbrace{(b_1+b_2+ \dots + b_n)}_{B} \longrightarrow 10\underbrace{(b_1+b_2+ \dots + b_n)}_{B}+ \underbrace{(a_1+a_2+ \dots + a_n)}_{A};

10A + B \longrightarrow 10B + A.

При этом сумма второго одноклассника была равна 231, а сумма чисел после перестановки стала в 4 раза больше. Тогда получаем следующую систему в новых обозначениях:

\begin{cases} 10A+B=231, \\ 10B+A=231\cdot 4; \ \cdot |10\end{cases} \quad \begin{cases} 10A+B=231, \\ 100B+10A=9240; \end{cases} \quad \begin{cases} 10A+B=231, \\ 99B=9240-231; \end{cases} \quad \begin{cases} A=14, \\ B=91. \end{cases}

Тогда данному случаю соответствует набор чисел:

\underbrace{16, 16, \dots, 16}_{7 \ чисел}, \underbrace{17, 17, \dots, 17}_{7 \ чисел}.

б) Если сумма чисел после перестановки стала в 3 раза больше, то получаем систему:

\begin{cases} 10A+B=231, \\ 10B+A=231 \cdot 3; \ \cdot |10\end{cases} \ \begin{cases} 10A+B=231, \\ 100B+10A=6930; \end{cases} \\begin{cases} 10A+B=231, \\ 99B=6930-231; \end{cases} \\begin{cases} 10A+B=231, \\ B=67\dfrac{2}{3} \not \in \mathbb{Z}. \end{cases}

Получили противоречие, так как сумма цифр чисел всегда целая, значит, такой случай невозможен.

в) Выразим

B

из условия

10A+B=231

и подставим в выражение

x= 10B+A

x=10(231-10A)+A=2310-100A+A=2310-99A \longrightarrow \max.

Тогда для максимальности последнего выражения нужно сделать

A

минимально возможным.

1) Если

A=11

, то

B\leqslant99

10A + B \leqslant201

, такой случай невозможен.

2) Если

A=12

, то

B\leqslant108

10A + B \leqslant228

, такой случай невозможен.

3)Если

A=13

, то

B=117

10A + B \leqslant247

.

Следовательно, получаем оценку

A\geqslant 13

, так как при

A\leqslant 12

, получаем, что

B \leqslant 108

10A + B \leqslant228

.
Приведём пример для

A=13

\underbrace{18, 18, \dots, 18}_{12 \ чисел}, 15.

Если

A=13

, то

B=231-13\cdot 10=231-130=101

.

Тогда получаем, что

x = 10B+A=10\cdot 101+13=1023

.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1023.

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи