Четверо одноклассников играют в числа. Первый записал несколько необязательно различных двузначных чисел. Второй нашёл их сумму, и у него получилось 231. Третий поменял местами единицы и десятки в каждом числе, записанном первым. Четвёртый нашёл сумму чисел, получившихся у третьего.
а) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 4 раза больше суммы, которую получил второй?
б) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 3 раза больше суммы, которую получил второй?
в) Какую наибольшую сумму может получить четвёртый?
Решение
а) Пусть первый одноклассник записал n двузначных чисел без 0 в десятичной записи. Тогда после перестановки цифр в них третьим одноклассником они приняли вид:
10a1+b1⟶10b1+a1; 10a2+b2⟶10b2+a2; 10a3+b3⟶10b3+a3; ……… 10an+bn⟶10bn+an. Тогда после суммирования чисел в каждой из групп получаем следующие суммы, соответствующие тем, которые получат второй и четвёртый одноклассники:
10A(a1+a2+⋯+an)+B(b1+b2+⋯+bn)⟶10B(b1+b2+⋯+bn)+A(a1+a2+⋯+an); 10A+B⟶10B+A. При этом сумма второго одноклассника была равна 231, а сумма чисел после перестановки стала в 4 раза больше. Тогда получаем следующую систему в новых обозначениях:
{10A+B=231,10B+A=231⋅4;⋅∣10{10A+B=231,100B+10A=9240;{10A+B=231,99B=9240−231;{A=14,B=91. Тогда данному случаю соответствует набор чисел:
7чисел16,16,…,16,7чисел17,17,…,17. б) Если сумма чисел после перестановки стала в 3 раза больше, то получаем систему:
{10A+B=231,10B+A=231⋅3;⋅∣10{10A+B=231,100B+10A=6930;{10A+B=231,99B=6930−231;⎩⎨⎧10A+B=231,B=6732∈Z. Получили противоречие, так как сумма цифр чисел всегда целая, значит, такой случай невозможен.
в) Выразим B из условия 10A+B=231 и подставим в выражение x=10B+A: x=10(231−10A)+A=2310−100A+A=2310−99A⟶max. Тогда для максимальности последнего выражения нужно сделать A минимально возможным.
1) Если A=11, то B⩽99 и 10A+B⩽201, такой случай невозможен.
2) Если A=12, то B⩽108 и 10A+B⩽228, такой случай невозможен.
3)Если A=13, то B=117 и 10A+B⩽247.
Следовательно, получаем оценку A⩾13, так как при A⩽12, получаем, что B⩽108 и 10A+B⩽228. Приведём пример для A=13: 12чисел18,18,…,18,15. Если A=13, то B=231−13⋅10=231−130=101.
