На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше 2A+B. б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно 2A+B. в) Найдите наибольшее возможное значение выражения 2A+B.
Решение
а) Пусть в группе I будет только число 5, A=5. \par \medskip
Значит, во II группе будут все остальные числа, поэтому B=235⋅7+4⋅8+3⋅8=2391. Следовательно, 2A+B=21(5+2391)=23103=42311. При этом среднее арифметическое всех чисел будет равно 248(5+4+3)=4. Получаем, что 2A+B>4. б) Пусть в I группе находится 12 чисел, дающих в сумме x, тогда A=12x. Общая сумма чисел равна 8(5+4+3)=96. Следовательно, сумма чисел в группе II равна (96−x), а B=1296−x. Получаем, что 2A+B=21(12x+1296−x)=4, что совпадает со средним арифметическим всех чисел, вычисленным в пункте а), ч.т.д.
в) Пусть в I группе n чисел, их сумма x, тогда во группе II (24−n) чисел, сумма которых равна (96−x). Пусть n<12, так как при n=12 выражение 2A+B=4, а при n>12 группы просто поменяем местами. Тогда 2A+B=2nx+24−n96−x=2n(24−n)24x+96n−2xn=n(24−n)x(12−n)+48n. При этом 12−n>0, а также x⩽5n, так как каждое число не превосходит 5. Значит,
2A+B=n(24−n)x(12−n)+48n⩽n(24−n)5n(12−n)+48n=24−n60+48−5n=24−n108−5n= =24−n120−5n−24−n12=5−24−n12⩽5−2312=23103=42311. Пример для такого случая приведён в пункте а).
Ответ: а) I группа -- число 5, II группа -- остальные числа; в) 42311.
