В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Ответ:
Решение
Пусть основания равны a и b,b>a, а боковая сторона равна l. Так как в трапецию можно вписать окружность и она равнобедренная, 2l=a+b. Из периметра P=20 получаем l=5,a+b=10. По площади трапеции 20=2a+b⋅h, значит h=4. После опускания высот получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой l и катетом h. Поэтому 2b−a=52−42=3, то есть b−a=6. Тогда a=2,b=8. Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому расстояние до меньшего основания равно a+ba⋅h=102⋅4=54.
