Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026Math100

При каком целом значении параметра

a

уравнения

\begin{cases}4ax^2 - 5x + a = 0\\ 3x^2 +2ax - 5 = 0\end{cases}

имеют хотя бы один общий корень?

Решение

4ax^2 - 5x + a = 0;

a(4x^2 + 1) = 5x; \quad | : (4x^2+1) \neq 0 \\[0.5em]a = \frac{5x}{4x^2 + 1}.

3x^2 + 2ax - 5 = 0;

2ax = 5 - 3x^2.

Если

x=0

, то

0=5

неверно, значит

x \neq 0

a = \frac{5 - 3x^2}{2x}.

Приравняем найденные значения параметра и найдём общий корень:

\frac{5x}{4x^2 + 1} = \frac{5 - 3x^2}{2x}; \\[0.5em]10x^2 = (5 - 3x^2)(4x^2 + 1); \\[0.5em]20x^2 + 5 - 12x^4 - 3x^2 - 10x^2 = 0; \\[0.5em]12x^4 - 7x^2 - 5= 0; \\[0.5em]x^2 = t, \quad 12t^2 - 7t - 5 = 0; \\[0.5em]D = 49 + 240 = 289 = 17^2; \\[0.5em]\left[\begin{aligned}t_1 &= 1, \\t_2 &= -\frac{5}{12};\end{aligned}\right.\quad\left[\begin{aligned}x^2& = 1, \\x^2 &= -\frac{5}{12}, \ \varnothing;\end{aligned}\right.\quad\left[\begin{aligned}x& = 1, \\x &= -1.\end{aligned}\right. \\[0.5em]x=1, \ a = \frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1^2 + 1} = 1; \quad x=-1, \ a = \frac{-5}{4 \cdot (-1)^2 + 1} = -1.

Проверим, что уравнения имеют общий корень:
1)

a = -1

-4x^2 - 5x - 1 = 0, \quad 4x^2 + 5x + 1 = 0, \quad D = 9, \quad x_1 = -1, \quad x_2 = -0,25; \\[0.5em]3x^2 - 2x - 5 = 0, \quad D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64, \quad x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = -1. \\[0.5em]\text{Уравнения имеют общий корень } x = -1.

a = 1

4x^2 - 5x + 1 = 0, \quad D = 9, \quad x_1 = 1, \quad x_2 = 0{,}25; \\[0.5em]3x^2 + 2x - 5 = 0, \quad D = 64, \quad x_1 = -\frac{5}{3}; \quad x_2 = 1.

Уравнения имеют общий корень

x = 1.

Ответ:

\pm 1.

Похожие задачи