Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры
100 параметров 2026Math100
При каком целом значении параметра aaa уравнения {4ax2−5x+a=03x2+2ax−5=0\begin{cases}4ax^2 - 5x + a = 0\\ 3x^2 +2ax - 5 = 0\end{cases}{4ax2−5x+a=03x2+2ax−5=0​ имеют хотя бы один общий корень?

Решение

1) 4ax2−5x+a=0;4ax^2 - 5x + a = 0;4ax2−5x+a=0;
a(4x2+1)=5x;∣:(4x2+1)≠0a=5x4x2+1.a(4x^2 + 1) = 5x; \quad | : (4x^2+1) \neq 0 \\[0.5em]
a = \frac{5x}{4x^2 + 1}.a(4x2+1)=5x;∣:(4x2+1)=0a=4x2+15x​.
2) 3x2+2ax−5=0;3x^2 + 2ax - 5 = 0;3x2+2ax−5=0;
2ax=5−3x2.2ax = 5 - 3x^2.2ax=5−3x2.
Если x=0x=0x=0, то 0=50=50=5 неверно, значит x≠0x \neq 0x=0.
a=5−3x22x.a = \frac{5 - 3x^2}{2x}.a=2x5−3x2​. Приравняем найденные значения параметра и найдём общий корень:
5x4x2+1=5−3x22x;10x2=(5−3x2)(4x2+1);20x2+5−12x4−3x2−10x2=0;12x4−7x2−5=0;x2=t,12t2−7t−5=0;D=49+240=289=172;[t1=1,t2=−512;[x2=1,x2=−512, ∅;[x=1,x=−1.x=1, a=5⋅14⋅12+1=1;x=−1, a=−54⋅(−1)2+1=−1.\frac{5x}{4x^2 + 1} = \frac{5 - 3x^2}{2x}; \\[0.5em]
10x^2 = (5 - 3x^2)(4x^2 + 1); \\[0.5em]
20x^2 + 5 - 12x^4 - 3x^2 - 10x^2 = 0; \\[0.5em]
12x^4 - 7x^2 - 5= 0; \\[0.5em]
x^2 = t, \quad 12t^2 - 7t - 5 = 0; \\[0.5em]
D = 49 + 240 = 289 = 17^2; \\[0.5em]
\left[
\begin{aligned}
t_1 &= 1, \\
t_2 &= -\frac{5}{12};
\end{aligned}
\right.
\quad
\left[
\begin{aligned}
x^2& = 1, \\
x^2 &= -\frac{5}{12}, \ \varnothing;
\end{aligned}
\right.
\quad
\left[
\begin{aligned}
x& = 1, \\
x &= -1.
\end{aligned}
\right. \\[0.5em]
x=1, \ a = \frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1^2 + 1} = 1; \quad x=-1, \ a = \frac{-5}{4 \cdot (-1)^2 + 1} = -1.4x2+15x​=2x5−3x2​;10x2=(5−3x2)(4x2+1);20x2+5−12x4−3x2−10x2=0;12x4−7x2−5=0;x2=t,12t2−7t−5=0;D=49+240=289=172;​t1​t2​​=1,=−125​;​​x2x2​=1,=−125​, ∅;​[xx​=1,=−1.​x=1, a=4⋅12+15⋅1​=1;x=−1, a=4⋅(−1)2+1−5​=−1.
Проверим, что уравнения имеют общий корень:
1) a=−1a = -1a=−1:
−4x2−5x−1=0,4x2+5x+1=0,D=9,x1=−1,x2=−0,25;3x2−2x−5=0,D=4+4⋅3⋅5=64,x1=53,x2=−1.Уравнения имеют общий корень x=−1.-4x^2 - 5x - 1 = 0, \quad 4x^2 + 5x + 1 = 0, \quad D = 9, \quad x_1 = -1, \quad x_2 = -0,25; \\[0.5em]
3x^2 - 2x - 5 = 0, \quad D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64, \quad x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = -1. \\[0.5em]
\text{Уравнения имеют общий корень } x = -1.−4x2−5x−1=0,4x2+5x+1=0,D=9,x1​=−1,x2​=−0,25;3x2−2x−5=0,D=4+4⋅3⋅5=64,x1​=35​,x2​=−1.Уравнения имеют общий корень x=−1.
2) a=1a = 1a=1:
4x2−5x+1=0,D=9,x1=1,x2=0,25;3x2+2x−5=0,D=64,x1=−53;x2=1.4x^2 - 5x + 1 = 0, \quad D = 9, \quad x_1 = 1, \quad x_2 = 0{,}25; \\[0.5em]
3x^2 + 2x - 5 = 0, \quad D = 64, \quad x_1 = -\frac{5}{3}; \quad x_2 = 1.4x2−5x+1=0,D=9,x1​=1,x2​=0,25;3x2+2x−5=0,D=64,x1​=−35​;x2​=1.
Уравнения имеют общий корень x=1.x = 1.x=1.

Ответ: ±1.\pm 1.±1.