Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=415.
Ответ:
Решение
Пусть окружность касается луча AB в точке E. Тогда AE — касательная, а AC — секущая. По теореме о касательной и секущей AE2=AM⋅AN=4⋅15=60, значит AE=215.
По теореме косинусов в треугольнике AEM: EM2=AE2+AM2−2AE⋅AMcos∠BAC. Подставляя данные, получаем EM2=60+42−2⋅215⋅4⋅415=16, то есть EM=4. Кроме того, sin∠BAC=1−4152=41. В треугольнике EMN синус угла ENM равен этому же числу. Тогда по теореме синусов R=2sin∠ENMEM=2⋅414=8.
