Скорость колеблющегося на пружине груза… — Задачи с прикладным содержанием — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задачи с прикладным содержаниемСтатГрад 02.10.2024

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону

v(t) = 10 \sin \dfrac{\pi t}{5}

(см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени первых трёх секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ:

Решение

По условию скорость груза превышала 5 см/с, тогда

10 \sin \frac{\pi t}{5} \geq 5;

\sin \frac{\pi t}{5} \geq \frac{1}{2};

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \leq \dfrac{\pi t}{5} \leq \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}.

Умножая все части неравентства на

\frac{5}{\pi}

, получим

\dfrac{5}{6} + 10k \leq t \leq \dfrac{25}{6} + 10k

При

k=0

\frac{5}{6} \leq t \leq \frac{25}{6}=4\frac{1}{6}

При

k \neq 0

получается промежуток времени, не пересекающийся с первыми тремя секундами.
Также по условию

0 \leq t \leq 3

, поэтому

\dfrac{5}{6} \leq t \leq 3

Таким образом, в первые

3

секунды скорость груза превышала

5

см/с на протяжении

3-\dfrac{5}{6} = \dfrac{13}{6}

секунд. Тогда можем найти требуемое отношение:

\dfrac{\frac{13}{6}}{3} = \dfrac{13}{18}

После деления в столбик и округления до сотых получаем

0,72

.

Ответ:

0,72