Тригонометрическая функция — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задачи с прикладным содержанием

СтатГрад 02.10.2024

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону

v(t) = 10 \sin \dfrac{\pi t}{5}

(см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени первых трёх секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ:

Решение

1. Записываем закон изменения скорости

По условию задачи скорость груза меняется по закону:

v(t) = 10 \sin \frac{\pi t}{5} \text{ (см/с)}.

Нам нужно найти долю времени на промежутке

t \in [0, 3]

, когда скорость превышает 5 см/с:

v(t) > 5.

2. Составляем неравенство

10 \sin \frac{\pi t}{5} > 5.

Делим обе части на 10:

\sin \frac{\pi t}{5} > 0,5.

3. Решаем неравенство

Так как

t \in [0, 3]

, то

\frac{\pi t}{5} \in [0, \frac{3\pi}{5}] \approx [0, 1,884]

радиан.

Решаем неравенство

\sin x > 0,5

на промежутке

x \in [0, \frac{3\pi}{5}]

.

Синус больше 0,5 при:

\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}.

Но верхняя граница

\frac{3\pi}{5} = 0,6\pi < \frac{5\pi}{6} \approx 0,833\pi

, поэтому на рассматриваемом промежутке неравенство выполняется при:

\frac{\pi}{6} < x \leq \frac{3\pi}{5}.

4. Находим соответствующий промежуток времени

\frac{\pi}{6} < \frac{\pi t}{5} \leq \frac{3\pi}{5}.

Делим на

\pi

\frac{1}{6} < \frac{t}{5} \leq \frac{3}{5}.

Умножаем на 5:

\frac{5}{6} < t \leq 3.

Таким образом, скорость превышает 5 см/с на промежутке:

t \in \left(\frac{5}{6}; 3\right].

5. Находим длительность этого промежутка

\Delta t = 3 - \frac{5}{6} = \frac{18}{6} - \frac{5}{6} = \frac{13}{6} \approx 2,1667.

6. Находим долю времени

Общая длительность промежутка

[0, 3]

равна 3 секунды.

Доля времени:

\frac{\Delta t}{3} = \frac{13/6}{3} = \frac{13}{18} \approx 0,7222.

Округляем до сотых:

0,72.

7. Вывод

\boxed{0,72}

Тригонометрическая функция — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи