Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2024 (резерв)

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

(2+|x+a|)^3-(2+|x+a|)^2=\left(3-x^2-2 a x-2 a^2\right)^3-\left(3-x^2-2 a x-2 a^2\right)^2

имеет хотя бы один корень.

Решение

Пусть

u=2+|x+a|

v=3-x^2-2 a x-2 a^2

. Уравнение примет вид:

u^3-u^2=v^3-v^2.

Заметим, что

|x+a|\geqslant0

, тогда

2+|x+a|\geqslant2

, то есть

u\geqslant2

. \par \medskip
При этом

v=3-\left((x^2+2xa+a^2)+a^2\right)=3-((x+a)^2+a^2)

, где

(x+a)^2+a^2\geqslant0

, значит,

v\leqslant3

.
Пусть

f(t)=t^3-t^2

. Рассмотрим поведение данной функции, вычислив производную:

f'(t)=3t^2-2t=t(3t-2).

Отметим на оси

Ot

нули производной и определим промежутки убывания и возрастания:

$Изображение 1$

Если

t\geqslant2

, то

f(t)

-- возрастает, тогда

f(t) \geqslant f(2)=2^3-2^2=8-4=4

.
Тогда получаем, что:

f(u)= \underbrace{u^3-u^2}_{\geqslant4} = v^3-v^2 = f(v).

При этом

f(0)=0<4

, следовательно, неравенство

f(v) = f(u) \geqslant4

может быть выполнено только при

v\geqslant2

. Убедимся в этом, построив график

f(t)=t^3-t^2

$Изображение 2$

Следовательно, в силу монотонного возрастания функции

f(t)

на промежутке

t\geqslant2

равенство

f(u)=f(v)

возможно тогда и только тогда, когда равны аргументы, то есть

u=v

.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

2+ |x+a| = 3 - (x+a)^2 -a^2, \quad (x+a)^2+|x+a|+a^2-1=0.

Воспользуемся тем, что

(x+a)^2 = |x+a|^2

, а также выделим полный квадрат:

|x+a|^2+|x+a|+a^2-1=0, \quad \left(|x+a|^2+|x+a|+\dfrac{1}{4}\right) + a^2-1 - \dfrac{1}{4}=0;

\left(|x+a| + \dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}-a^2.

Так как

|x+a| + \dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{1}{2}

, то

\left(|x+a| + \dfrac{1}{2}\right)^2 \geqslant \dfrac{1}{4}

. Следовательно, правая часть неравенства должна быть тоже не меньше

\dfrac{1}{4}

, чтобы было хотя бы одно решение.

\dfrac{5}{4}-a^2 \geqslant \dfrac{1}{4}, \quad a^2 \leqslant1, \quad (a-1)(a+1) \leqslant0;

$Изображение 3$

a\in [-1;1].

Ответ:

a\in [-1;1].

Похожие задачи