Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГКР 10.12.2024
Скопировать ссылку
17e85137
Решите неравенство
5
2
x
x
+
3
−
5
2
x
+
3
x
+
3
⩾
5
x
x
+
3
−
5.
5^{\tfrac{2x}{x+3}} - 5^{\tfrac{2x+3}{x+3}} \geqslant 5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5.
5
x
+
3
2
x
−
5
x
+
3
2
x
+
3
⩾
5
x
+
3
x
−
5.
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем неравенство по свойствам степеней:
5
2
x
x
+
3
=
(
5
x
x
+
3
)
2
,
5
2
x
+
3
x
+
3
=
5
x
+
x
+
3
x
+
3
=
5
⋅
5
3
x
+
3
.
5^{\tfrac{2x}{x+3}} = \left(5^{\tfrac{x}{x+3}}\right)^2, \quad 5^{\tfrac{2x+3}{x+3}} = 5^{\tfrac{x + x+3}{x+3}} = 5\cdot 5^{\tfrac{3}{x+3}}.
5
x
+
3
2
x
=
(
5
x
+
3
x
)
2
,
5
x
+
3
2
x
+
3
=
5
x
+
3
x
+
x
+
3
=
5
⋅
5
x
+
3
3
.
Тогда неравенство примет вид:
(
5
x
x
+
3
)
2
−
5
⋅
5
3
x
+
3
⩾
5
x
x
+
3
−
5
;
\left(5^{\tfrac{x}{x+3}}\right)^2 - 5\cdot 5^{\tfrac{3}{x+3}} \geqslant 5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5;
(
5
x
+
3
x
)
2
−
5
⋅
5
x
+
3
3
⩾
5
x
+
3
x
−
5
;
5
x
x
+
3
⋅
(
5
x
x
+
3
−
5
)
⩾
5
x
x
+
3
−
5
;
5^{\tfrac{x}{x+3}} \cdot\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} -5\right)\geqslant 5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5;
5
x
+
3
x
⋅
(
5
x
+
3
x
−
5
)
⩾
5
x
+
3
x
−
5
;
(
5
x
x
+
3
−
1
)
⋅
(
5
x
x
+
3
−
5
)
⩾
0
;
\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 1\right) \cdot\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5\right)\geqslant 0;
(
5
x
+
3
x
−
1
)
⋅
(
5
x
+
3
x
−
5
)
⩾
0
;
(
5
x
x
+
3
−
5
0
)
⋅
(
5
x
x
+
3
−
5
1
)
⩾
0.
\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5^0\right) \cdot\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5^1\right)\geqslant 0.
(
5
x
+
3
x
−
5
0
)
⋅
(
5
x
+
3
x
−
5
1
)
⩾
0.
Учитывая, что
5
>
1
5 > 1
5
>
1
,
воспользуемся рационализацией:
(
x
x
+
3
−
0
)
⋅
(
x
x
+
3
−
1
)
⩾
0
;
\left(\dfrac{x}{x+3} - 0\right)\cdot \left(\dfrac{x}{x+3} - 1\right) \geqslant 0;
(
x
+
3
x
−
0
)
⋅
(
x
+
3
x
−
1
)
⩾
0
;
−
3
x
(
x
+
3
)
2
⩾
0
;
∣
⋅
(
−
1
)
\dfrac{-3x}{(x+3)^2} \geqslant 0; \ |\cdot (-1)
(
x
+
3
)
2
−
3
x
⩾
0
;
∣
⋅
(
−
1
)
3
x
(
x
+
3
)
2
⩽
0
;
\dfrac{3x}{(x+3)^2} \leqslant 0;
(
x
+
3
)
2
3
x
⩽
0
;
Получаем, что
x
∈
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
x\in (-\infty; -3) \cup (-3; 0]
x
∈
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
.
\textbf{Ответ:}
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
(-\infty; -3) \cup (-3; 0]
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
.
