Для студентов
Для учителей
Личный кабинет
Главная
Банк задач
Показательные неравенства
Задача
Показательные неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
ЕГКР 10.12.2024
Скопировать ссылку
17e85137
Решите неравенство
5
2
x
x
+
3
−
5
2
x
+
3
x
+
3
⩾
5
x
x
+
3
−
5.
5^{\tfrac{2x}{x+3}} - 5^{\tfrac{2x+3}{x+3}} \geqslant 5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5.
5
x
+
3
2
x
−
5
x
+
3
2
x
+
3
⩾
5
x
+
3
x
−
5.
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем неравенство по свойствам степеней:
5
2
x
x
+
3
=
(
5
x
x
+
3
)
2
,
5
2
x
+
3
x
+
3
=
5
x
+
x
+
3
x
+
3
=
5
⋅
5
3
x
+
3
.
5^{\tfrac{2x}{x+3}} = \left(5^{\tfrac{x}{x+3}}\right)^2, \quad 5^{\tfrac{2x+3}{x+3}} = 5^{\tfrac{x + x+3}{x+3}} = 5\cdot 5^{\tfrac{3}{x+3}}.
5
x
+
3
2
x
=
(
5
x
+
3
x
)
2
,
5
x
+
3
2
x
+
3
=
5
x
+
3
x
+
x
+
3
=
5
⋅
5
x
+
3
3
.
Тогда неравенство примет вид:
(
5
x
x
+
3
)
2
−
5
⋅
5
3
x
+
3
⩾
5
x
x
+
3
−
5
;
\left(5^{\tfrac{x}{x+3}}\right)^2 - 5\cdot 5^{\tfrac{3}{x+3}} \geqslant 5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5;
(
5
x
+
3
x
)
2
−
5
⋅
5
x
+
3
3
⩾
5
x
+
3
x
−
5
;
5
x
x
+
3
⋅
(
5
x
x
+
3
−
5
)
⩾
5
x
x
+
3
−
5
;
5^{\tfrac{x}{x+3}} \cdot\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} -5\right)\geqslant 5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5;
5
x
+
3
x
⋅
(
5
x
+
3
x
−
5
)
⩾
5
x
+
3
x
−
5
;
(
5
x
x
+
3
−
1
)
⋅
(
5
x
x
+
3
−
5
)
⩾
0
;
\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 1\right) \cdot\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5\right)\geqslant 0;
(
5
x
+
3
x
−
1
)
⋅
(
5
x
+
3
x
−
5
)
⩾
0
;
(
5
x
x
+
3
−
5
0
)
⋅
(
5
x
x
+
3
−
5
1
)
⩾
0.
\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5^0\right) \cdot\left(5^{\tfrac{x}{x+3}} - 5^1\right)\geqslant 0.
(
5
x
+
3
x
−
5
0
)
⋅
(
5
x
+
3
x
−
5
1
)
⩾
0.
Учитывая, что
5
>
1
5 > 1
5
>
1
,
воспользуемся рационализацией:
(
x
x
+
3
−
0
)
⋅
(
x
x
+
3
−
1
)
⩾
0
;
\left(\dfrac{x}{x+3} - 0\right)\cdot \left(\dfrac{x}{x+3} - 1\right) \geqslant 0;
(
x
+
3
x
−
0
)
⋅
(
x
+
3
x
−
1
)
⩾
0
;
−
3
x
(
x
+
3
)
2
⩾
0
;
∣
⋅
(
−
1
)
\dfrac{-3x}{(x+3)^2} \geqslant 0; \ |\cdot (-1)
(
x
+
3
)
2
−
3
x
⩾
0
;
∣
⋅
(
−
1
)
3
x
(
x
+
3
)
2
⩽
0
;
\dfrac{3x}{(x+3)^2} \leqslant 0;
(
x
+
3
)
2
3
x
⩽
0
;
Получаем, что
x
∈
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
x\in (-\infty; -3) \cup (-3; 0]
x
∈
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
.
\textbf{Ответ:}
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
(-\infty; -3) \cup (-3; 0]
(
−
∞
;
−
3
)
∪
(
−
3
;
0
]
.
Похожие задачи
Показательные неравенства
Решите неравенство
3
⋅
25
x
2
−
6
x
+
9
+
5
⋅
9
x
2
−
6
x
+
9
⩾
8
⋅
15
x
2
−
6
x
+
9
3\cdot 25^{x^2 - 6x + 9} + 5\cdot 9^{x^2 - 6x + 9} \geqslant 8\cdot 15^{x^2 - 6x + 9}
3
⋅
2
5
x
2
−
6
x
+
9
+
5
⋅
9
x
2
−
6
x
+
9
⩾
8
⋅
1
5
x
2
−
6
x
+
9
Показательные неравенства
Решите неравенство
3
⋅
45
x
−
3
⋅
27
x
−
28
⋅
15
x
+
28
⋅
9
x
+
9
⋅
5
x
−
3
x
+
2
⩽
0.
3 \cdot 45^x - 3 \cdot 27^x - 28 \cdot 15^x + 28 \cdot 9^x + 9 \cdot 5^x - 3^{x+2} \leqslant 0.
3
⋅
4
5
x
−
3
⋅
2
7
x
−
28
⋅
1
5
x
+
28
⋅
9
x
+
9
⋅
5
x
−
3
x
+
2
⩽
0.
Показательные неравенства
Решите неравенство
4
x
−
3
⋅
2
x
+
2
log
3
(
0
,
5
⋅
2
x
)
⩾
0.
\frac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{\log_3(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.
lo
g
3
(
0
,
5
⋅
2
x
)
4
x
−
3
⋅
2
x
+
2
⩾
0.
Показательные неравенства
Решите неравенство
2
log
2
(
3
x
−
1
)
+
9
x
−
11
⩽
0.
2^{\log_2(3^x-1)}+9^x-11\leqslant0.
2
l
o
g
2
(
3
x
−
1
)
+
9
x
−
11
⩽
0.
Показательные неравенства
5
log
5
(
9
−
x
2
)
+
x
4
−
29
⩾
0.
5^{\log_5(9-x^2)}+x^4-29\geqslant0.
5
l
o
g
5
(
9
−
x
2
)
+
x
4
−
29
⩾
0.
Показательные неравенства
Решите неравенство
2
⋅
125
x
−
1
5
x
−
1
+
12
25
x
+
5
x
+
1
⩽
11
2\cdot\dfrac{125^x-1}{5^x-1}+\dfrac{12}{25^x+5^x+1}\leqslant 11
2
⋅
5
x
−
1
12
5
x
−
1
+
2
5
x
+
5
x
+
1
12
⩽
11
.
