Набор чисел на доске/карточках — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселЕГЭ 2025 (пересдача)

На доске написаны 30 натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше 16, но не превосходят 56, а их среднее арифметическое равно 23.

Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше~9. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше 21?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше 20, но меньше 21?

в) Какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел?

Решение

а) Да, если взять 25 чисел 17 и 5 чисел 53.
Тогда среднее арифметическое оставшихся чисел равно

\dfrac{5 \cdot 53 }{2\cdot 5} = 26,5

.
б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 23, то их сумма равна

30\cdot 23 = 690

.
Пусть

x

-- количество чисел 17, а

(30-x)

-- количество всех остальных чисел. Тогда

\begin{cases} \dfrac{690-17x}{2(30-x)} >20, \\[2ex] \dfrac{690-17x}{2(30-x)} <21; \end{cases} \quad \begin{cases} 690-17x > 1200 - 40x, \\ 690-17x < 1260 - 42x; \end{cases} \quad \begin{cases} 23x > 510, \\ 25x < 570; \end{cases} \quad\begin{cases} x > 22\dfrac{4}{23}, \\[2ex] x < 22\dfrac{4}{5}; \end{cases} \quad x\not \in \mathbb{Z}.

в) Пусть

S_2

-- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что

S_2 = \dfrac{690 - 17x}{2(30 - x)} = \dfrac{17(30-x)+180}{2(30 - x)} = \dfrac{17}{2} + \dfrac{90}{30-x}.

Очевидно, что сумма всех оставшихся чисел не превосходит 56, поэтому справедливо неравенство:

690 - 17x \leqslant 56 (30-x), \quad 690 - 17x \leqslant 1680 - 56x, \quad 39x \leqslant 990, \quad 13x \leqslant 330, \quad x \leqslant25\dfrac{5}{13}.

Значение

x

должно быть целым, поэтому

x_{max} = 25

. Тогда

S_2 = 26,5

.
Приведём пример для

x = 25

: 25 чисел 17 и 5 чисел 53.
Ответ: а) да, б) нет, в) 26,5.

Набор чисел на доске/карточках — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи