Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a + 2)x + 2a}

на отрезке

\left[0; 1\right]

имеет ровно один корень.

Решение

Уравнение равносильно следующей системе:

\begin{cases} x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a, \\ x^2 - a^2 \geqslant 0. \end{cases}

Преобразуем уравнение:

x^2 - a^2 - 4x^2 + (4a+2)x - 2a = 0;\\ -3x^2 + (4a+2)x - a^2 - 2a = 0;\\ 3x^2 - (4a+2)x + a^2 + 2a = 0.

Решим это уравнение как квадратное относительно

x

D = (-(4a+2))^2 - 4\cdot 3\cdot (a^2 + 2a) = 16a^2 + 16a + 4 - 12a^2 - 24a = 4a^2 - 8a + 4 = (2a - 2)^2;

x_1 = \dfrac{4a + 2 - (2a - 2)}{6} = \dfrac{2a + 4}{6} = \dfrac{a + 2}{3};

x_2 = \dfrac{4a + 2 + (2a - 2)}{6} = a.

Таким образом, система принимает следующий вид:

\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = a, \\ x = \dfrac{a + 2}{3},\\[1.5mm] \end{array} \right.\\ (x-a)(x+a) \geqslant 0. \end{cases}

Проанализируем полученные корни:
1) Корень

x = a

(a - a)(a + a) = 0 \geqslant 0

, следовательно, значение

x = a

всегда является корнем нашего уравнения.

При

a \in [0; 1]

корень

x = a

принадлежит отрезку

[0; 1]

.

2) Корень

x = \dfrac{a+2}{3}

:
Выясним, при каких

a

значение

x = \dfrac{a+2}{3}

является корнем исходного уравнения:

\left( \frac{a+2}{3} - a \right) \left( \frac{a+2}{3} + a \right) \geqslant 0;

\dfrac{a + 2 - 3a}{3}\cdot \dfrac{a + 2 + 3a}{3} \geqslant 0;

(1-a)(2a+1) \geqslant 0.

С помощью метода интервалов получаем:

a \in \left[ -\dfrac{1}{2}; 1 \right]

.

Выясним, при каких

a

значение

x = \dfrac{a + 2}{3}

принадлежит отрезку

[0; 1]

0 \leqslant \frac{a+2}{3} \leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad 0 \leqslant a+2 \leqslant 3 \quad \Rightarrow \quad -2 \leqslant a \leqslant 1.

Значит, если

x = \dfrac{a + 2}{3}

является корнем, то он принадлежит отрезку

[0; 1]

, так как

\left[ -\dfrac{1}{2}; 1 \right] \subset [-2;1]

.

Заметим, что если корень

x = a

принадлежит отрезку

[0; 1]

, то

x = \dfrac{a + 2}{3}

также является корнем.

Таким образом, на отрезке

[0; 1]

уравнение имеет единственный корень в следующих случаях:

1) Оба корня существуют и совпадают, а также принадлежат отрезку

[0; 1]

\dfrac{a + 2}{3} = a\quad\Rightarrow\quad 2a = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 1.

2) Корень

x = a

не принадлежит отрезку

[0; 1]

, а значение

x = \dfrac{a + 2}{3}

является корнем. Это происходит при

a \in \left[ -\dfrac{1}{2}; 0 \right)

Объединяя случаи, получаем:

a \in \left[ -\frac{1}{2}; 0 \right) \cup \{1\}.

Ответ:

\left[ -\dfrac{1}{2}, 0 \right) \cup \{1\}

Похожие задачи