Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x2−a2=4x2−(4a+2)x+2a на отрезке [0;1] имеет ровно один корень.
Решение
Уравнение равносильно следующей системе:
{x2−a2=4x2−(4a+2)x+2a,x2−a2⩾0. Преобразуем уравнение:
x2−a2−4x2+(4a+2)x−2a=0;−3x2+(4a+2)x−a2−2a=0;3x2−(4a+2)x+a2+2a=0. Решим это уравнение как квадратное относительно x: D=(−(4a+2))2−4⋅3⋅(a2+2a)=16a2+16a+4−12a2−24a=4a2−8a+4=(2a−2)2; x1=64a+2−(2a−2)=62a+4=3a+2; x2=64a+2+(2a−2)=a. Таким образом, система принимает следующий вид:
⎩⎨⎧[x=a,x=3a+2,(x−a)(x+a)⩾0. Проанализируем полученные корни:
1) Корень x=a:
(a−a)(a+a)=0⩾0, следовательно, значение x=a всегда является корнем нашего уравнения.
При a∈[0;1] корень x=a принадлежит отрезку [0;1].
2) Корень x=3a+2: Выясним, при каких a значение x=3a+2 является корнем исходного уравнения:
(3a+2−a)(3a+2+a)⩾0; 3a+2−3a⋅3a+2+3a⩾0; (1−a)(2a+1)⩾0. С помощью метода интервалов получаем: a∈[−21;1].
Выясним, при каких a значение x=3a+2 принадлежит отрезку [0;1]: 0⩽3a+2⩽1⇒0⩽a+2⩽3⇒−2⩽a⩽1. Значит, если x=3a+2 является корнем, то он принадлежит отрезку [0;1], так как [−21;1]⊂[−2;1].
Заметим, что если корень x=a принадлежит отрезку [0;1], то x=3a+2 также является корнем.
Таким образом, на отрезке [0;1] уравнение имеет единственный корень в следующих случаях:
1) Оба корня существуют и совпадают, а также принадлежат отрезку [0;1]: 3a+2=a⇒2a=2⇒a=1. 2) Корень x=a не принадлежит отрезку [0;1], а значение x=3a+2 является корнем. Это происходит при a∈[−21;0).
