Постройте график функции \[… — Задание 22 — ЕГЭ

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{4{,}5}-\dfrac{4{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{4{,}5}-\dfrac{4{,}5}{x}=0

, откуда

x=\pm 4{,}5

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-4{,}5;0)\cup[4{,}5;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{4{,}5}-\dfrac{4{,}5}{x}+\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}\right)=\dfrac{x}{4{,}5}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-4{,}5)\cup(0;4{,}5)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}+\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}\right)=\dfrac{4{,}5}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{4{,}5}, & x\in [-4{,}5;0)\cup[4{,}5;+\infty),\\[8pt]\dfrac{4{,}5}{x}, & x\in (-\infty;-4{,}5)\cup(0;4{,}5).\end{cases}

В точках

x=\pm 4{,}5

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-4{,}5; -1)

(4{,}5; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{4{,}5}

x

-4{,}5

-2

-1

4{,}5

9

13{,}5

y

-1

\frac{-4}{9}

\frac{-2}{9}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{4{,}5}{x}

x

-9

-4{,}5

1

2

4{,}5

y

-0{,}5

-1

4{,}5

2{,}25

1

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно,

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра:

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{4{,}5}-\dfrac{4{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}\right).

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения:

x\neq 0

.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения:

\dfrac{x}{4{,}5}-\dfrac{4{,}5}{x}=0

, откуда

x=\pm 4{,}5

.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1:

x\in [-4{,}5;0)\cup[4{,}5;+\infty)

. Тогда

y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{4{,}5}-\dfrac{4{,}5}{x}+\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}\right)=\dfrac{x}{4{,}5}.

Случай 2:

x\in (-\infty;-4{,}5)\cup(0;4{,}5)

. Тогда

y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}+\dfrac{x}{4{,}5}+\dfrac{4{,}5}{x}\right)=\dfrac{4{,}5}{x}.

Таким образом:

y=\begin{cases}\dfrac{x}{4{,}5}, & x\in [-4{,}5;0)\cup[4{,}5;+\infty),\\[8pt]\dfrac{4{,}5}{x}, & x\in (-\infty;-4{,}5)\cup(0;4{,}5).\end{cases}

В точках

x=\pm 4{,}5

оба выражения принимают одинаковые значения:

(-4{,}5; -1)

(4{,}5; 1)

принадлежат графику.

Таблица значений для

y=\dfrac{x}{4{,}5}

x

-4{,}5

-2

-1

4{,}5

9

13{,}5

y

-1

\frac{-4}{9}

\frac{-2}{9}

1

2

3

Таблица значений для

y=\dfrac{4{,}5}{x}

x

-9

-4{,}5

1

2

4{,}5

y

-0{,}5

-1

4{,}5

2{,}25

1

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{-1\} \cup\{1\}

.

График для анализа значений параметра: