Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселСтатГрад 18.03.2025

Из правильной несократимой дроби

\dfrac{a}{b}

, где

a

b

--— натуральные числа, за один ход получают дробь

\dfrac{2a+b}{3a+b}

.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби

\dfrac{1}{4}

получить дробь

\dfrac{63}{82}

?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь

\dfrac{11}{16}

?

в) Несократимая дробь

\dfrac{c}{d}

больше

0,75

. Найдите наименьшую дробь

\dfrac{c}{d}

, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Решение

а) Заметим, что

\dfrac{1}{4} \rightarrow \dfrac{2+4}{3+4} = \dfrac{6}{7} \rightarrow \dfrac{12+7}{18+7} = \dfrac{19}{25} \rightarrow \dfrac{38+25}{57+25} = \dfrac{63}{82}.

Следовательно, возможно за несколько ходов из дроби

\dfrac{1}{4}

получить

\dfrac{63}{82}

.
б) Выполним с некоторой дробью

\dfrac{a}{b}

два хода, тогда

\dfrac{a}{b} \rightarrow \dfrac{2a+b}{3a+b} \rightarrow \dfrac{2 (2a+b)+3a+b}{3(2a+b)+3a+b} = \dfrac{7a+3b}{9a+4b}.

Проверим, может ли полученная дробь быть равна

\dfrac{11}{16}

\dfrac{7a+3b}{9a+4b} = \dfrac{11}{16}.

Для этого докажем следующий факт: если дробь

\dfrac{a}{b}

--- несократимая, то и

\dfrac{2a+b}{3a+b}

также несократимая. Предположим, что это не так, тогда числитель и знаменатель делятся на одно и тоже число, то есть

2a+b = cn

3a + b = ck

\begin{cases} 2a+b = cn, \\ 3a+b = ck \end{cases} \Rightarrow a = ck-cn = c(k-n).

Тогда

b = cn -2c(k-n) = c(3n-2k)

, следовательно числа

a

b

делятся на

c

, то есть дробь

\dfrac{a}{b}

---сократимая дробь. Противоречие. \\
Таким образом, такое возможно только если

\begin{cases} 7a+3b = 11, \\ 9a+4b = 16. \end{cases}

Решая полученную систему, находим

a = -4

b=13

, что невозможно, так как числа

a

b

натуральные.
в) Дробь

\dfrac{c}{d} = \dfrac{7a+3b}{9a+4b}

выразим числа

a

b

через

c

d

\begin{cases} c = 7a+3b, \\ d = 9a+4b. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 4c -3d, \\ b= 7d-9c. \end{cases}

То есть из дроби

\dfrac{4c-3d}{7d-9c}

за два хода была поулчена дробь

\dfrac{c}{d}

. Аналогичным образом находим, что за один ход из дроби

\dfrac{d-c}{3c-2d}

была получена

\dfrac{c}{d}

\dfrac{4c-3d}{7d-9c} \rightarrow \dfrac{d-c}{3c-2d} \rightarrow \dfrac{c}{d}.

Таким образом, дробь

\dfrac{c}{d}

можно получить из правильной несократимой дроби, если числитель меньше знаменателя и оба равны натуральным числам, то есть:

\begin{cases} 4c-3d < 7d-9c, \\ d-c < 3c-2d, \\ 4c-3d >0, \\ d-c >0. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 13c < 10d, \\ 3d<4c, \\ 4c>3d, \\ d>c. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \dfrac{3}{4} <\dfrac{c}{d} < \dfrac{10}{13}.

Так как

\dfrac{3}{4} = 0,75

, тогда наименьшаяя дробь, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода, равна

\dfrac{10}{13}

.

Ответ: а) Да; б) Нет; в)

\dfrac{10}{13}

Похожие задачи