Из правильной несократимой дроби ba, где a и b --— натуральные числа, за один ход получают дробь 3a+b2a+b.
а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 41 получить дробь 8263?
б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 1611?
в) Несократимая дробь dc больше 0,75. Найдите наименьшую дробь dc, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?
Решение
а) Заметим, что
41→3+42+4=76→18+712+7=2519→57+2538+25=8263. Следовательно, возможно за несколько ходов из дроби 41 получить 8263. б) Выполним с некоторой дробью ba два хода, тогда
ba→3a+b2a+b→3(2a+b)+3a+b2(2a+b)+3a+b=9a+4b7a+3b. Проверим, может ли полученная дробь быть равна 1611: 9a+4b7a+3b=1611. Для этого докажем следующий факт: если дробь ba --- несократимая, то и 3a+b2a+b также несократимая. Предположим, что это не так, тогда числитель и знаменатель делятся на одно и тоже число, то есть 2a+b=cn и 3a+b=ck. {2a+b=cn,3a+b=ck⇒a=ck−cn=c(k−n). Тогда b=cn−2c(k−n)=c(3n−2k), следовательно числа a и b делятся на c, то есть дробь ba ---сократимая дробь. Противоречие. \\
Таким образом, такое возможно только если
{7a+3b=11,9a+4b=16. Решая полученную систему, находим a=−4,b=13, что невозможно, так как числа a и b натуральные.
в) Дробь dc=9a+4b7a+3b выразим числа a и b через c и d: {c=7a+3b,d=9a+4b.⇔{a=4c−3d,b=7d−9c. То есть из дроби 7d−9c4c−3d за два хода была поулчена дробь dc. Аналогичным образом находим, что за один ход из дроби 3c−2dd−c была получена dc. 7d−9c4c−3d→3c−2dd−c→dc. Таким образом, дробь dc можно получить из правильной несократимой дроби, если числитель меньше знаменателя и оба равны натуральным числам, то есть:
⎩⎨⎧4c−3d<7d−9c,d−c<3c−2d,4c−3d>0,d−c>0.⇔⎩⎨⎧13c<10d,3d<4c,4c>3d,d>c.⇔43<dc<1310. Так как 43=0,75, тогда наименьшаяя дробь, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода, равна 1310.
