Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
5cos2x+1=2(3−4sinx−a)sinx имеет хотя бы один корень.
Решение
Упростим уравнение, используя формулу косинуса двойного угла cos2x=1−2sin2x: 5(1−2sin2x)+1=6sinx−8sin2x−2asinx; 6−10sin2x=6sinx−8sin2x−2asinx; 2sin2x−2sinx(a−3)−6=0; sin2x−sinx(a−3)−3=0. Пусть sinx=t,t∈[−1;1], тогда уравнение примет вид
t2−(a−3)t−3=0.(1) Проанализируем замену:
каждому значению t из отрезка [−1;1] соответствует бесконечное число значений x, тогда для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы 1 корень, уравнение (1) должно иметь хотя бы 1 корень, принадлежащий отрезку [−1;1]. Будем решать задачу графически в осях Oty. Преобразуем уравнение к виду
t2−3=(a−3)⋅t. Рассмотрим отдельно функции, стоящие в левой и правой частях уравнения.
Графиком левой части является парабола y=t2−3 с вершиной (0;−3). Графиком правой части уравнения является пучок прямых y=(a−3)⋅t, закреплённый в точке (0;0). Начертим графики в системе Oty на промежутке t∈[−1;1] и отметим ключевые положения прямой y=(a−3)⋅t. Также подпишем количество решений в полученных областях и на их границах.
Найдём точку пересечения t=1 и y=t2−3: y=1−3=−2. Значит, точка пересечения имеет координаты (1;−2). Найдём точку пересечения t=−1 и y=t2−3: y=1−3=−2. Значит, точка пересечения имеет координаты (−1;−2).
Нам нужно хотя бы одно решение, значит, подходят все положения до I и все положения после II, включая границы I и II.
Положение I. Прямая y=(a−3)⋅t проходит через точку (1;−2), то есть
−2=a−3;a=1. Положение II. Прямая y=(a−3)⋅t проходит через точку (−1;−2), то есть
−2=3−a;a=5. Значит, a∈(−∞;1]∪[5;+∞).
