Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГКР 03.12.22
Скопировать ссылку
12686450
4
2
x
+
3
⩾
4
1
+
x
x
.
4^{\frac{2}{x}}+3 \geqslant 4^{\frac{1+x}{x}}.
4
x
2
+
3
⩾
4
x
1
+
x
.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Выполним преобразования, используя свойства степени:
4
1
+
x
x
=
4
1
⋅
4
1
x
=
4
⋅
4
1
x
.
4^{\frac{1 + x}{x}} = 4^{1}\cdot 4^{\frac{1}{x}} = 4\cdot 4^{\frac{1}{x}}.
4
x
1
+
x
=
4
1
⋅
4
x
1
=
4
⋅
4
x
1
.
Неравенство принимает вид:
4
2
x
+
3
⩾
4
⋅
4
1
x
;
4^{\frac{2}{x}}+3 \geqslant 4\cdot 4^{\frac{1}{x}};
4
x
2
+
3
⩾
4
⋅
4
x
1
;
4
2
x
−
4
⋅
4
1
x
+
3
⩾
0.
4^{\frac{2}{x}} - 4\cdot 4^{\frac{1}{x}} + 3 \geqslant 0.
4
x
2
−
4
⋅
4
x
1
+
3
⩾
0.
Сделаем замену
t
=
4
1
x
t = 4^{\frac{1}{x}}
t
=
4
x
1
.
Тогда получаем:
t
2
−
4
t
+
3
⩾
0
;
t^2 - 4t + 3 \geqslant 0;
t
2
−
4
t
+
3
⩾
0
;
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
⩾
0.
(t - 1)(t - 3) \geqslant 0.
(
t
−
1
)
(
t
−
3
)
⩾
0.
По методу интервалов получаем:
t
∈
(
−
∞
;
1
]
∪
[
3
;
+
∞
)
t \in (-\infty; 1]\cup [3;+\infty)
t
∈
(
−
∞
;
1
]
∪
[
3
;
+
∞
)
.
Значит,
[
t
⩽
1
,
t
⩾
3
;
⇒
[
4
1
x
⩽
1
,
4
1
x
⩾
3
;
⇒
[
1
x
⩽
0
,
1
x
⩾
log
4
3
;
⇒
[
1
x
⩽
0
,
1
−
x
⋅
log
4
3
x
⩾
0.
\left[
\begin{array}{l}
t \leqslant 1,\\
t\geqslant 3;
\end{array}
\right.
\Rightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
4^{\frac{1}{x}} \leqslant 1,\\
4^{\frac{1}{x}} \geqslant 3;
\end{array}
\right.
\Rightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} \leqslant 0,\\[2mm]
\dfrac{1}{x} \geqslant \log_4{3};
\end{array}
\right.
\Rightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} \leqslant 0,\\[2mm]
\dfrac{1 - x\cdot \log_4{3}}{x} \geqslant 0.
\end{array}
\right.
[
t
⩽
1
,
t
⩾
3
;
⇒
[
4
x
1
⩽
1
,
4
x
1
⩾
3
;
⇒
x
1
⩽
0
,
x
1
⩾
lo
g
4
3
;
⇒
x
1
⩽
0
,
x
1
−
x
⋅
lo
g
4
3
⩾
0.
Отсюда получаем:
x
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
log
3
4
]
x \in (-\infty; 0)\cup (0;\log_3{4}]
x
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
lo
g
3
4
]
.
Ответ:
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
log
3
4
]
(-\infty; 0)\cup (0;\log_3{4}]
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
lo
g
3
4
]
.
