Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 22.04.2026

а) Решите уравнение

8\cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{48}\sin^2 x = 9\sqrt{3} - 8\sin 2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{11\pi}{4}; \dfrac{17\pi}{4}\right]

Решение

8 \cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 4\sqrt{3} \sin^2 x = 9\sqrt{3} - 8 \sin 2x;\\\text{ Раскроем } \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \text{как синус суммы: }\\\\8 \cos x \cdot \left( \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \right) + 4\sqrt{3} \sin^2 x = 9\sqrt{3} - 8 \sin 2x;\\\\8 \cos x \cdot \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + 4\sqrt{3} \sin^2 x = 9\sqrt{3} - 8 \sin 2x;\\4 \sin x \cos x + 4\sqrt{3} \cos^2 x + 4\sqrt{3} \sin^2 x = 9\sqrt{3} - 8 \sin 2x;\\2 \sin 2x + 4\sqrt{3}(\cos^2 x + \sin^2 x) = 9\sqrt{3} - 8 \sin 2x;\\2 \sin 2x + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 8 \sin 2x;\\10 \sin 2x = 5\sqrt{3};\\\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2};\\\left[\begin{aligned}2x &= \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \\2x &= \frac{2\pi}{3} + 2\pi k;\end{aligned}\right. \quad k \in \mathbb{Z}\qquad\left[\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{6} + \pi k, \\x &= \frac{\pi}{3} + \pi k;\end{aligned}\right. \quad k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{11\pi}{4}; \dfrac{17\pi}{4}\right]

, с помощью тригонометрической окружности.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{19\pi}{6},\; \frac{10\pi}{3},\; \frac{25\pi}{6}.

Ответ:

а) \dfrac{\pi}{6} + \pi k, \ \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \ б) \dfrac{19\pi}{6},\; \dfrac{10\pi}{3},\; \dfrac{25\pi}{6}.

Похожие задачи