В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых сторон
AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно прямой
SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
6) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью а, если AD=10,BC=8,SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Решение
а) MN пересекает отрезки AC и BD в точках P и Q соответственно. Проведём отрезки PT и QR, параллельные SO, которые пересекают AS и SD в точках T и R соответственно. MTRN - сечение пирамиды SABCD плоскостью α. Заметим, что △APT∼△AOS(по двум углам): ∠SAO - общий, ∠APT=∠AOS как соответственные при параллельных прямых PT и SO и секущей AO. Значит OSPT=AOAP. Аналогично, △DQR∼△SOD⇒OSQR=DODQ. По обобщенной теореме Фалеса для ∠AOD,PQ∥AD получаем AOAP=DODQ⇒OSPT=OSQR⇒PT=QR. В итоге SO∥PT∥QR и PT=QR, следовательно, PTRQ - параллелограмм, TR=PQ<MN⇒MNRT - трапеция.
б) SO⊥AD и PT∥SO⇒PT⊥AD∥MN, значит PT - высота трапеции MTRN. MN - средняя линия трапеции ABCD,MN=2BC+AD=9.MP и QN - средние линии треугольников ABC и BCD соответственно, т.е. MP=QN=2BC=4,TR=PQ=MN−MP−QN=9−4−4=1. △POQ∼△AOD⇒AOOP=ADPQ=101. Из подобия △APT и △AOS:SOTP=AOAP=109⇒TP=109SO=536. SMTRN=2MN+TR⋅TP=5⋅536=36.
