Постройте график функции y=x∣x∣−5x+2∣x∣. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x=0.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<0. Получаем y=−x2−7x.
Случай 2: x⩾0. Получаем y=x2−3x.
Таким образом: y={−x2−7x,x2−3x,x<0,x⩾0. Вершина левой ветви: (−3,5;12,25), вершина правой ветви: (1,5;−2,25). Таблица значений для левой ветви:
x:−3,−2,−1,0 y:12,10,6,0
Таблица значений для правой ветви:
x:0,1,2,3 y:0,−2,−2,0
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{−2,25}∪{12,25}.
