В июле 2020 года планируется взять кредит в… — Экономические задачи — ЕГЭ

Экономические задачи

ФИПИ

В июле

2020

года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на

r

% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по

58564

рубля, то кредит будет полностью погашен за

4

года, а если ежегодно выплачивать по

106964

рубля, то кредит будет полностью погашен за

2

года. Найдите

r

Решение

Пусть

S

рублей — сумма кредита. Обозначим

k = 1 + \dfrac{r}{100}

— коэффициент увеличения долга.

Рассмотрим первый вариант: ежегодная выплата

x = 58564

рублей, срок

n = 4

года. Составим таблицу:

$Изображение 1$

В конце 4-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:

(((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x = 0.

Второй вариант: ежегодная выплата

y = 106964

рубля, срок

n = 2

года. Составим таблицу:

$Изображение 2$

В конце 2-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:

(S k - y) k - y = 0.

Объединим уравнения в систему:

\begin{cases} (((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x = 0,\\ (S k - y) k - y = 0. \end{cases} \\ \begin{cases} S \cdot k^4 - x \cdot (k^3 + k^2 + k + 1) = 0,\\ S \cdot k^2 - y \cdot (k + 1) = 0. \end{cases} \\ \begin{cases} S\cdot k^4 = x \cdot (k^3 + k^2 + k + 1) ,\\ S \cdot k^2 = y \cdot (k + 1). \end{cases}

Разделим первое уравнение на второе:

\frac{S \cdot k^4}{S \cdot k^2} = \frac{x \cdot (k^3 + k^2 + k + 1)}{y \cdot (k + 1)}; \\ k^2 = \frac{x}{y} \cdot \frac{(k + 1)(k^2 + 1)}{k + 1}; \\ k^2 = \frac{x}{y} \cdot (k^2 + 1)

Подставим

x = 58564

y = 106964

k^2 = \frac{58564}{106964} \cdot (k^2 + 1)

k^2 = \frac{14641}{26741} (k^2 + 1); \quad |\cdot 26741

26741 k^2 = 14641 k^2 + 14641; \\ 12100 k^2 = 14641; \\ k^2 = \frac{14641}{12100} = \left( \frac{121}{110} \right)^2; \\ k=\frac{121}{110}=1,1 , \quad k=-\frac{121}{100}=-1,1.

Так как

k>0

, нам подходит только

k=1,1

. Найдём

r

1 + \dfrac{r}{100} = 1,1;

\dfrac{r}{100} = 0,1; \\ r = 10.

Ответ:

10.

Экономические задачи

ФИПИ

В июле

2020

r

58564

рубля, то кредит будет полностью погашен за

4

года, а если ежегодно выплачивать по

106964

рубля, то кредит будет полностью погашен за

2

года. Найдите

r

Решение

Пусть

S

рублей — сумма кредита. Обозначим

k = 1 + \dfrac{r}{100}

— коэффициент увеличения долга.

Рассмотрим первый вариант: ежегодная выплата

x = 58564

рублей, срок

n = 4

года. Составим таблицу:

$Изображение 1$

В конце 4-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:

(((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x = 0.

Второй вариант: ежегодная выплата

y = 106964

рубля, срок

n = 2

года. Составим таблицу:

$Изображение 2$

В конце 2-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:

(S k - y) k - y = 0.

Объединим уравнения в систему:

\begin{cases} (((S \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x) \cdot k - x = 0,\\ (S k - y) k - y = 0. \end{cases} \\ \begin{cases} S \cdot k^4 - x \cdot (k^3 + k^2 + k + 1) = 0,\\ S \cdot k^2 - y \cdot (k + 1) = 0. \end{cases} \\ \begin{cases} S\cdot k^4 = x \cdot (k^3 + k^2 + k + 1) ,\\ S \cdot k^2 = y \cdot (k + 1). \end{cases}

Разделим первое уравнение на второе:

\frac{S \cdot k^4}{S \cdot k^2} = \frac{x \cdot (k^3 + k^2 + k + 1)}{y \cdot (k + 1)}; \\ k^2 = \frac{x}{y} \cdot \frac{(k + 1)(k^2 + 1)}{k + 1}; \\ k^2 = \frac{x}{y} \cdot (k^2 + 1)

Подставим

x = 58564

y = 106964

k^2 = \frac{58564}{106964} \cdot (k^2 + 1)

k^2 = \frac{14641}{26741} (k^2 + 1); \quad |\cdot 26741

26741 k^2 = 14641 k^2 + 14641; \\ 12100 k^2 = 14641; \\ k^2 = \frac{14641}{12100} = \left( \frac{121}{110} \right)^2; \\ k=\frac{121}{110}=1,1 , \quad k=-\frac{121}{100}=-1,1.

Так как

k>0

, нам подходит только

k=1,1

. Найдём

r

1 + \dfrac{r}{100} = 1,1;

\dfrac{r}{100} = 0,1; \\ r = 10.

Ответ:

10.