В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC.BP и CP --- перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны.
б) Найдите длину стороны AC, если AK=6,BK=18.
Решение
а) ∠ACP=∠ABP=90∘, значит, четырёхугольник ACBP вписанный.
∠ABC=∠APC как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
∠APC=90∘−∠HCP по теореме о сумме острых углов прямоугольного △CPH. ∠ACH=∠ACP−∠HCP=90∘−∠HCP=∠APC. Получаем, что ∠ACH=∠APC. Тогда ∠ABC=∠APC=∠ACH, ч.т.д.
б) △ACB∼△AKC по двум углам (∠CAK -- общий, ∠ABC=∠ACK). Запишем отношение сторон и выразим AC: ABAC=ACAK;AC2=AK⋅AB; AC=AK⋅AB=AK⋅(AK+KB);AC=6⋅(6+18)=6⋅24=12.
