Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=5. Тогда PB=PC−BC=5−1=4. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=4. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=4,AE=BC=1. Следовательно, ED=AD−AE=3. По данным CE2+ED2=42+32=52=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=24+1⋅4=10.
