Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
logx+1(a+x−6)=2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (−1;1].
Решение
Уравнение равносильно системе:
⎩⎨⎧x+1>0,x+1=1,a+x−6=(x+1)2;⎩⎨⎧x>−1,x=0,x2+x+7−a=0;⎩⎨⎧x>−1,x=0,a=x2+x+7. Решим полученную систему графически в координатах Oxa:
1. Неравенство x>−1 задаёт полуплоскость правее прямой x=−1, не включая саму прямую.
2. Неравенство x=0 выкалывает вертикальную прямую x=0. 3. Уравнение a=x2+x+7 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной:
xв=−21=−0,5,yв=(−0,5)2−0,5+7=6,75. Найдём точки пересечения x=−1 и a=x2+x+7: a=(−1)2−1+7=7. Найдём точки пересечения x=0 и a=x2+x+7: a=02−0+7=7. Множество x∈(−1;1] задаёт полосу между прямыми x=−1 и x=1, не включая x=−1. Найдём точки пересечения x=1 и a=x2+x+7: a=12+1+7=9. Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству корней исходного уравнения.
Отметим на графике несколько положений прямой и подпишем количество решений.
Нам подходит хотя бы одно решение, что соответствует всем положениям между положениями I и III, исключая положение II и включая границы.
Положение I: прямая проходит через вершину параболы, то есть a=6,75.
Положение II: прямая проходит через точку (0;7), то есть a=7.
Положение III: прямая проходит через точку (1;9), то есть a=9.
