Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.
a) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15,KL=6,LB=5.
Решение
а) По условию окружность с центром O высекает на всех сторонах трапеции равные хорды. Равные хорды находятся на равном расстоянии от центра. Следовательно, точка O равноудалена от всех прямых, содержащих стороны трапеции ABCD. Следовательно, O лежит на биссектрисах углов ∠A,∠B,∠C,∠D. Таким образом, биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в точке O.
б) Опустим перпендикуляр OH из центра O на сторону AB. Точка H — середина хорды KL (так как радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам). Следовательно,
KH=HL=2KL=26=3. Тогда:
AH=AK+KH=15+3=18,BH=LB+HL=5+3=8.
Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180∘. Так как AO и BO — биссектрисы, то:
∠OAB+∠OBA=2∠A+2∠B=2∠A+∠B=2180∘=90∘. Следовательно, ∠AOB=90∘, и треугольник AOB — прямоугольный с прямым углом при вершине O. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу:
OH=AH⋅BH=18⋅8=144=12.
Опустим из точки из точки O перпендикуляры ON и OM на стороны AD и BC соответственно. MN -- высота трапеции и OM=ON=OH. Следовательно,
MN=2⋅OH=2⋅12=24. Ответ: 24.
