Постройте график функции y=−x2+8x+4∣x−3∣−15. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+−3=0⇒x=3.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<3. Получаем y=−x2+4x−3.
Случай 2: x⩾3. Получаем y=−x2+12x−27.
Таким образом: y={−x2+4x−3,−x2+12x−27,x<3,x⩾3. Вершина левой ветви: (2;1), вершина правой ветви: (6;9). Таблица значений для левой ветви:
x:1,2,3 y:0,1,0
Таблица значений для правой ветви:
x:3,4,5,6 y:0,5,8,9
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{1}.
