Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=4|x-3|-x^{2}+8x-15.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-3=0 \Rightarrow x=3

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<3

, тогда

|x-3|=-(x-3)

.
Получаем

y=- x^{2} + 4 x - 3

.

Случай

2

x\geqslant 3

, тогда

|x-3|=x-3

.
Получаем

y=- x^{2} + 12 x - 27

.

Таким образом:

y=\begin{cases}- x^{2} + 4 x - 3, & x<3,\\- x^{2} + 12 x - 27, & x\geqslant 3.\end{cases}

В граничной точке

x=3

проверим значения обеих формул:

y_1(3)=- 3^{2} + 4\cdot 3 - 3=0,\qquad y_2(3)=- 3^{2} + 12\cdot 3 - 27=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(3; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} + 4 x - 3

имеем

a=-1

b=4

c=-3

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2.

y_0=-1\cdot(2)^2+4\cdot(2)-3=1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(2; 1)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} + 12 x - 27

имеем

a=-1

b=12

c=-27

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{12}{2\cdot(-1)}=6.

y_0=-1\cdot(6)^2+12\cdot(6)-27=9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(6; 9)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{1\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи