В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A,B и C, а на окружности другого основания – точка C1, причём CC1 – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30∘ ,AB=1,CC1=22. a) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60∘. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение
а) Так как AC - диаметр, тогда ∠ABC=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Значит, △ABC - прямоугольный и ∠ACB=30∘⇒AC=2AB=2 как катет лежащий напротив угла 30∘, тогда BC=ABctg30∘=3. Проведём AD∥BC, точка D - точка пересечения с нижним основанием.
Тогда ∠(AC1;BC)=∠(AC1;AD)=∠C1AD. ABCD - прямоугольник, поэтому AD=BC=3. Так как CC1 - Образующая, то CC1⊥CD, следовательно, △CC1D - прямоугольный. По теореме Пифагора:
C1D=CD2+CC12=12+(22)2=3 Так как CD - проекция C1D на плоскость основания цилиндра и CD⊥AD, то C1D⊥AD по теореме о трёх перпендикулярах. В △AC1D: tg∠C1AD=ADC1D=33=3⇒∠C1AD=60∘. Что и требовалось доказать.
б) Sб. пов.=2πrh=πdh=AC⋅π⋅CC1=2π⋅22=42π
