Параметр с тригонометрией — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 06.04.2023

Найдите все значения

a

, при каждом из которых множество решений неравенства

\dfrac{10-a-\left(a^2-3 a+2\right) \sin x}{\cos ^2 x+a^2+3}<1

содержит отрезок

\left[0 ; \dfrac{3 \pi}{4}\right]

Решение

Так как знаменатель дроби

\cos ^2 x+a^2+3

всегда положителен, то домножим на него неравенство:

10-a-\left(a^2-3 a+2\right) \sin x<\cos ^2 x+a^2+3;

10-a-\left(a^2-3 a+2\right) \sin x - (1 - \sin^2x) - a^2 - 3 < 0;

\sin^2x - (a^2 - 3a + 2) \sin x - a^2 + a +2 < 0.

Пусть

\cos x=t

t\in [-1;1]

, тогда неравенство примет вид:

t^2 - (a^2 - 3a + 2) t - a^2 - a + 6 < 0.~~~(1)

Рассмотрим функцию

f(t)=t^2 - (a^2 - 3a + 2) t - a^2 - a + 6

. Её графиком является парабола с ветвями вверх.

Функция

g(x)=\sin x

на промежутке

\left[0; \dfrac{3\pi}{4} \right]

принимает значения из отрезка

[0;1]

. Следовательно, множество решений исходного неравенства будет содержать отрезок

\left[0; \dfrac{3\pi}{4} \right]

тогда, когда множество решений неравенства (1) будет содержать отрезок

[0;1]

.
Изобразим случай, который нам подходит:

$Изображение 1$

Такое положение параболы задаётся системой:

\begin{cases} f(0) < 0, \\ f(1) < 0; \end{cases} \quad\begin{cases} -a^2-a+6 < 0, \\ 1-a^2+3a-2-a^2-a+6 < 0; \end{cases} \quad\begin{cases} a^2+a-6 > 0, \\ 2a^2-2a+5 > 0; \end{cases}

\begin{cases} (a+3)(a-2) > 0, \\ 2\left(a-\dfrac{1+\sqrt{11}}{2}\right)\left(a-\dfrac{1-\sqrt{11}}{2}\right) > 0; \end{cases}

$Изображение 2$

$Изображение 3$

Получаем, что

a\in\left(-\infty; -3\right) \cup \left (\dfrac{1+\sqrt{11}}{2}; +\infty \right)

. \par \medskip
Ответ:

a\in\left(-\infty; -3\right) \cup \left (\dfrac{1+\sqrt{11}}{2}; +\infty \right)

Похожие задачи