Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства cos2x+a2+310−a−(a2−3a+2)sinx<1 содержит отрезок [0;43π].
Решение
Так как знаменатель дроби cos2x+a2+3 всегда положителен, то домножим на него неравенство:
10−a−(a2−3a+2)sinx<cos2x+a2+3; 10−a−(a2−3a+2)sinx−(1−sin2x)−a2−3<0; sin2x−(a2−3a+2)sinx−a2+a+2<0. Пусть cosx=t,t∈[−1;1], тогда неравенство примет вид: t2−(a2−3a+2)t−a2−a+6<0.(1)
Рассмотрим функцию f(t)=t2−(a2−3a+2)t−a2−a+6. Её графиком является парабола с ветвями вверх.
Функция g(x)=sinx на промежутке [0;43π] принимает значения из отрезка [0;1]. Следовательно, множество решений исходного неравенства будет содержать отрезок [0;43π] тогда, когда множество решений неравенства (1) будет содержать отрезок [0;1]. Изобразим случай, который нам подходит:
Такое положение параболы задаётся системой:
{f(0)<0,f(1)<0;{−a2−a+6<0,1−a2+3a−2−a2−a+6<0;{a2+a−6>0,2a2−2a+5>0; ⎩⎨⎧(a+3)(a−2)>0,2(a−21+11)(a−21−11)>0;
Получаем, что a∈(−∞;−3)∪(21+11;+∞). \par \medskip
Ответ: a∈(−∞;−3)∪(21+11;+∞).
