Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

a^2+a x-2 x^2-6 a-3 x+9|x|=0

имеет меньше четырёх различных корней.

Решение

Разберём два случая.

Случай 1:

x \geqslant 0

. Тогда

|x| = x

. Уравнение принимает вид:

a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x + 9x = 0 \quad\Rightarrow\quad a^2 + ax - 2x^2 - 6a + 6x = 0.

Рассмотрим его как квадратное относительно

x

-2x^2 + (a + 6)x + a^2 - 6a = 0.\\ D = (a + 6)^2 - 4\cdot (-2)\cdot (a^2 - 6a) = (3a - 6)^2.\\ x_{1, 2} = \frac{-(a + 6) \pm (3a - 6)}{2} = \frac{-a -6 \pm (3a - 6)}{-4};\\ x_1 = a,\quad x_2 = \dfrac{6 - a}{2}.

Оба этих значения являются корнями исходного уравнения, если они неотрицательны:

x_1 \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\geqslant 0;\\ x_2 \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a \leqslant 6.

Найдём

a

, при котором эти корни совпадают:

a = \dfrac{6 - a}{2}\quad\Rightarrow\quad a = 2.

Получаем:

a \in [0; 2)\cup (2;6]

.

Случай 2:

x < 0

. Тогда

|x| = -x

. Уравнение принимает вид:

a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x - 9x = 0 \quad\Rightarrow\quad a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 12x = 0.

Рассмотрим его как квадратное относительно

x

-2x^2 + (a - 12)x + a^2 - 6a = 0.\\ D = (a - 12)^2 + 8(a^2 - 6a) = (3a - 12)^2\\ x_{1, 2} = \dfrac{-(a - 12) \pm (3a - 12)}{-4}\\ x_1 = a - 6,\quad x_2 = -\dfrac{a}{2}.

Оба этих значения являются корнями исходного уравнения, если они отрицательны:

x_1 < 0\quad\Rightarrow\quad a < 6;\\ x_2 < 0\quad\Rightarrow\quad a > 0.

Найдём

a

, при котором эти корни совпадают:

a - 6 = -\dfrac{a}{2}\quad\Rightarrow\quad a = 4.

Получаем:

a \in (0; 4)\cup (4;6)

.

Таким образом, уравнение имеет

4

решения при

a \in (0; 2)\cup(2;4)\cup(4;6)

.

Следовательно, уравнение имеет меньше четырёх различных корней при

a \in (-\infty;0] \cup \{2;4\} \cup [6; +\infty).

Ответ:

(-\infty;0] \cup \{2;4\} \cup [6; +\infty)

Похожие задачи