Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2+ax−2x2−6a−3x+9∣x∣=0 имеет меньше четырёх различных корней.
Решение
Разберём два случая.
Случай 1: x⩾0. Тогда ∣x∣=x. Уравнение принимает вид:
a2+ax−2x2−6a−3x+9x=0⇒a2+ax−2x2−6a+6x=0. Рассмотрим его как квадратное относительно x: −2x2+(a+6)x+a2−6a=0.D=(a+6)2−4⋅(−2)⋅(a2−6a)=(3a−6)2.x1,2=2−(a+6)±(3a−6)=−4−a−6±(3a−6);x1=a,x2=26−a. Оба этих значения являются корнями исходного уравнения, если они неотрицательны:
x1⩾0⇒a⩾0;x2⩾0⇒a⩽6. Найдём a, при котором эти корни совпадают:
a=26−a⇒a=2. Получаем: a∈[0;2)∪(2;6].
Случай 2: x<0. Тогда ∣x∣=−x. Уравнение принимает вид:
a2+ax−2x2−6a−3x−9x=0⇒a2+ax−2x2−6a−12x=0. Рассмотрим его как квадратное относительно x: −2x2+(a−12)x+a2−6a=0.D=(a−12)2+8(a2−6a)=(3a−12)2x1,2=−4−(a−12)±(3a−12)x1=a−6,x2=−2a. Оба этих значения являются корнями исходного уравнения, если они отрицательны:
x1<0⇒a<6;x2<0⇒a>0. Найдём a, при котором эти корни совпадают:
a−6=−2a⇒a=4. Получаем: a∈(0;4)∪(4;6).
Таким образом, уравнение имеет 4 решения при a∈(0;2)∪(2;4)∪(4;6).
Следовательно, уравнение имеет меньше четырёх различных корней при
a∈(−∞;0]∪{2;4}∪[6;+∞). Ответ: (−∞;0]∪{2;4}∪[6;+∞).
