Для студентов Для учителей

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГЭ 2025 (резерв)

Дан прямоугольный параллелепипед

ABCDA_1B_1C_1D_1

. Через прямую

BD_1

параллельно прямой

AC

проведена плоскость

\pi

, причём сечение параллелепипеда плоскостью

\pi

представляет собой ромб.
а) Докажите, что

ABCD

— квадрат.
б) Найти угол между плоскостью

\pi

и плоскостью

BCC_1

, если

AD=4

и

AA_1=6

.

Решение

а) Пусть

X

-- точка пересечения диагоналей

MN

и

BD_1

. Тогда

MX = XN

и

D_1X = XB

, значит,

MN

проходит через середину диагонали

BD_1

.

По условию

MN\parallel AC

, тогда

MN \parallel EF

, где

(MBN)\cap (ABC) = EF

, точки

E

и

F

лежат на прямых

AD

и

DC

соответственно. Значит,

MN

-- средняя линия треугольника

ED_1F

, то есть

M

и

N

-- середины рёбер

AA_1

и

CC_1

соответственно.

Треугольники

MAB

и

NCB

равны по гипотенузе (

MB = BN

) и катету (

MA = NC

), поэтому

AB = BC

, то есть

ABCD

-- квадрат.

б) Спроецируем все вершины ромба

MD_1NB

на плоскость

(BB_1C_1)

. Проекцией точки

M

является точка

K

-- середина ребра

BB_1

. Получаем четырёхугольник

KC_1NB

. Заметим, что

KC_1NB

-- параллелограмм.

Пусть

\varphi

-- угол между плоскостями

\pi

и

BCC_1

. Значит,

\cos{\varphi} = \dfrac{S_{BNC_1K}}{S_{MD_1NB}}.

Найдём

S_{BNC_1K}

и

S_{MD_1NB}

:

S_{BNC_1K} = C_1N\cdot BC = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4 = 12;

S_{MD_1ND} = \dfrac{1}{2}\cdot MN\cdot BD_1 = \dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 6^2} = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{68} = 4\sqrt{34}.

Получаем:

\cos{\varphi} = \dfrac{S_{BNC_1K}}{S_{MD_1NB}} = \dfrac{12}{4\sqrt{34}} = \dfrac{3}{\sqrt{34}}\quad\Rightarrow\quad \varphi = \arccos{\dfrac{3}{\sqrt{34}}}.

Ответ:

\arccos{\dfrac{3}{\sqrt{34}}}

.