Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Через прямую BD1 параллельно прямой AC проведена плоскость π, причём сечение параллелепипеда плоскостью π представляет собой ромб.
а) Докажите, что ABCD -- квадрат.
б) Найти угол между плоскостью π и плоскостью BCC1, если AD=4 и AA1=6.
Решение
а) Пусть X -- точка пересечения диагоналей MN и BD1. Тогда MX=XN и D1X=XB, значит, MN проходит через середину диагонали BD1.
По условию MN∥AC, тогда MN∥EF, где (MBN)∩(ABC)=EF, точки E и F лежат на прямых AD и DC соответственно. Значит, MN -- средняя линия треугольника ED1F, то есть M и N -- середины рёбер AA1 и CC1 соответственно.
Треугольники MAB и NCB равны по гипотенузе (MB=BN) и катету (MA=NC), поэтому AB=BC, то есть ABCD -- квадрат.
б) Спроецируем все вершины ромба MD1NB на плоскость (BB1C1). Проекцией точки M является точка K -- середина ребра BB1. Получаем четырёхугольник KC1NB. Заметим, что KC1NB -- параллелограмм.
Пусть φ -- угол между плоскостями π и BCC1. Значит,
cosφ=SMD1NBSBNC1K. Найдём SBNC1K и SMD1NB: SBNC1K=C1N⋅BC=21⋅6⋅4=12; SMD1ND=21⋅MN⋅BD1=21⋅AC⋅BD1=21⋅42⋅(42)2+62=22⋅68=434. Получаем:
cosφ=SMD1NBSBNC1K=43412=343⇒φ=arccos343.
