Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}4x - y + a = 0 \\2 |y| - x^2 + 4x = 0\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Преобразуем второе уравнение системы:

2|y| - x^2 + 4x = 0\quad\Rightarrow\quad |y| = \dfrac{x^2}{2} - 2x.

Поскольку левая часть неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

\dfrac{x^2}{2} - 2x \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad x(x - 4) \geqslant 0 \quad\Rightarrow\quad x\in (-\infty; 0)\cup(4; +\infty).

Таким образом, функция

|y| = \dfrac{x^2}{2} - 2x

определена на множестве

(-\infty; 0)\cup(4; +\infty)

и график этой функции состоит из двух парабол:

y = \dfrac{x^2}{2} - 2x \quad \text{(верхняя парабола)} \qquad \text{и} \qquad y = -\dfrac{x^2}{2} + 2x \quad \text{(нижняя парабола)}.

Уравнение

y = 4x + a

задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

4

.

Изобразим в осях

Oxy

обе параболы и прямые в основных положениях.

(I) Найдём

a

, при котором прямая

y = 4x + a

касается параболы

y = -\dfrac{x^2}{2} + 2x

. Это происходит, когда парабола и прямая имеют ровно одну точку пересечения:

-\dfrac{x^2}{2} + 2x = 4x + a;

x^2 + 4x + 2a = 0;\\ D = 4^2 - 4\cdot (2a) = 0\quad\Rightarrow\quad a = 2.

(II) Найдём

a

, при котором прямая

y = 4x + a

проходит через точку

(0; 0)

0 = 4\cdot 0 + a\quad\Rightarrow\quad a = 0.

(III)
Найдём

a

, при котором прямая

y = 4x + a

проходит через точку

(4; 0)

0 = 4\cdot 4 + a\quad\Rightarrow\quad a = -16.

(IV) Найдём

a

, при котором прямая

y = 4x + a

касается параболы

y = \dfrac{x^2}{2} - 2x

. Это происходит, когда парабола и прямая имеют ровно одну точку пересечения:

\dfrac{x^2}{2} - 2x = 4x + a;

x^2 - 12x - 2a = 0;\\ D = (-12)^2 - 4\cdot (-2a) = 0\quad\Rightarrow\quad a = -18.

Значит,
1) при

a \in \{-18; -16; 0; 2\}

система имеет

3

решения;
2) при

a \in (-18; -16)\cup (0;2)

система имеет

4

решения;
3) при

a \in (-\infty;-18) \cup (-16;0)\cup(2;+\infty)

система имеет

2

решения.

Ответ:

(-\infty;-18) \cup (-16;0)\cup(2;+\infty)

Похожие задачи