Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{4x−y+a=02∣y∣−x2+4x=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Преобразуем второе уравнение системы:
2∣y∣−x2+4x=0⇒∣y∣=2x2−2x. Поскольку левая часть неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:
2x2−2x⩾0⇒x(x−4)⩾0⇒x∈(−∞;0)∪(4;+∞). Таким образом, функция ∣y∣=2x2−2x определена на множестве (−∞;0)∪(4;+∞) и график этой функции состоит из двух парабол:
y=2x2−2x(верхняяпарабола)иy=−2x2+2x(нижняяпарабола). Уравнение y=4x+a задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом 4.
Изобразим в осях Oxy обе параболы и прямые в основных положениях.
(I) Найдём a, при котором прямая y=4x+a касается параболы y=−2x2+2x. Это происходит, когда парабола и прямая имеют ровно одну точку пересечения:
−2x2+2x=4x+a; x2+4x+2a=0;D=42−4⋅(2a)=0⇒a=2. (II) Найдём a, при котором прямая y=4x+a проходит через точку (0;0): 0=4⋅0+a⇒a=0. (III)
Найдём a, при котором прямая y=4x+a проходит через точку (4;0): 0=4⋅4+a⇒a=−16. (IV) Найдём a, при котором прямая y=4x+a касается параболы y=2x2−2x. Это происходит, когда парабола и прямая имеют ровно одну точку пересечения:
2x2−2x=4x+a; x2−12x−2a=0;D=(−12)2−4⋅(−2a)=0⇒a=−18.
Значит,
1) при a∈{−18;−16;0;2} система имеет 3 решения;
2) при a∈(−18;−16)∪(0;2) система имеет 4 решения;
3) при a∈(−∞;−18)∪(−16;0)∪(2;+∞) система имеет 2 решения.
