Дан прямоугольный треугольник ABC. Квадрат CKNM, такой, что точки K и M лежат на катетах AC и BC соответственно, а N лежит на гипотенузе AB. Квадрат PQRT такой, что вершины P и Q лежат на AC и BC, а вершины T и R лежат на гипотенузе.
а) Докажите, что точки C,N и центры квадратов лежат на одной прямой.
б) Найти сторону квадрата PQRT, если AC=12 и BC=5.
Решение
а) Пусть PR∩QT=O, тогда ∠POQ=90∘. Значит, четырёхугольник CPOQ -- вписанный, так как∠PCQ+∠POQ=180∘.Заметим, что∠PCO=∠OCQ=∠OPQ=∠OQP=45∘,значит, OC -- биссектриса угла ACB, то есть O∈CN.CN -- диагональ квадрата CKNM, значит, его центр также принадлежит CN.
б) Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора получаем:AB=AC2+BC2=25+144=13.Пусть ∠CAB=α, значит,∠APT=∠ABC=90∘−α,∠RQB=α.Пусть KT=x,RB=b и AT=a. Из прямоугольных треугольников AKT и ABC получаем:tgα=ax=125,⇒a=512x.Из прямоугольного треугольника RBQ получаем:tgα=xb=125x,⇒b=125x.Так как AB=x+a+b, то13=512x+125x+x=60144x+25x+60x=60229x;x=22960⋅13=229780.Ответ: 229780.
