Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГКР 03.12.22

Дан прямоугольный треугольник

ABC

. Квадрат

CKNM

, такой, что точки

K

M

лежат на катетах

AC

BC

соответственно, а

N

лежит на гипотенузе

AB

. Квадрат

PQRT

такой, что вершины

P

Q

лежат на

AC

BC

, а вершины

T

R

лежат на гипотенузе.

а) Докажите, что точки

C

N

и центры квадратов лежат на одной прямой.

б) Найти сторону квадрата

PQRT

, если

AC=12

BC=5

Решение

а) Пусть

PR\cap QT = O

, тогда

\angle{POQ} = 90^{\circ}

. Значит, четырёхугольник

CPOQ

— вписанный, так как

\angle{PCQ} + \angle{POQ} = 180^{\circ}.

Заметим, что

\angle{PCO} = \angle{OCQ} = \angle{OPQ} = \angle{OQP} = 45^{\circ},

значит,

OC

-- биссектриса угла

ACB

, то есть

O \in CN

CN

— диагональ квадрата

CKNM

, значит, его центр также принадлежит

CN

б) Из прямоугольного треугольника

ABC

по теореме Пифагора получаем:

AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{25 + 144} = 13.

Пусть

\angle{CAB} = \alpha

, значит,

\angle{APT} = \angle{ABC} = 90^{\circ} - \alpha,\quad\angle{RQB} = \alpha.

Пусть

KT = x

RB = b

AT = a

. Из прямоугольных треугольников

AKT

ABC

получаем:

\tg{\alpha} = \dfrac{x}{a} = \dfrac{5}{12},\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{12x}{5}.

Из прямоугольного треугольника

RBQ

получаем:

\tg{\alpha} = \dfrac{b}{x} = \dfrac{5x}{12},\quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{5x}{12}.

Так как

AB = x + a + b

, то

13 = \dfrac{12x}{5} + \dfrac{5x}{12} + x = \dfrac{144x + 25x + 60x}{60} = \dfrac{229x}{60};

x = \dfrac{60\cdot 13}{229} = \dfrac{780}{229}.

Ответ:

\dfrac{780}{229}

Похожие задачи